我曾經是狂噴微積分的憤青，我是中值定理的祖師爺，我叫羅爾，我為自己帶鹽
【輕鬆一刻---狂噴微積分的憤青】
羅爾是法國數學家。羅爾出生於小店家庭，只受過初等教育，年輕時貧困潦倒，靠充當公證人與律師抄錄員的微薄收入養家糊口，他利用業餘時間刻苦自學代數與丟番圖的著作，並很有心得。1682年，他解決了數學家奧扎南提出一個數論難題，受到了學術界的好評，從而名聲雀起，也使他的生活有了轉機，此後擔任初等數學教師和陸軍部行征官員。1685年進入法國科學院，擔任低級職務，到1690年才獲得科學院發給的固定薪水。此後他一直在科學院供職，1719年因中風去世。羅爾在數學上的成就主要是在代數方面，專長於丟番圖方程的研究。羅爾所處的時代正當牛頓、萊布尼茲的微積分誕生不久，由於這一新生事物存在邏輯上的缺陷，從而遭受多方面的非議，其中也包括羅爾，並且他是反對派中最直言不諱的一員。1700年，在法國科學院發生了一場有關無窮小方法是否真實的論戰。在這場論戰中，羅爾認為無窮小方法由於缺乏理論基礎將導致謬誤，並說：「微積分是巧妙的謬論的彙集」。從而展開了異常激烈的爭論,羅爾還被諷刺不懂微積分。由於羅爾對此問題表現得異常激動，致使科學院不得不屢次出面干預。直到1706年秋天，羅爾才承認他已經放棄了自己的觀點，並且充分認識到無窮小分析新方法價值。羅爾於1691年在題為《任意次方程的一個解法的證明》的論文中指出了：在多項式方程f(x)=0的兩個相鄰的實根之間，方程f(x)=0至少有一個根。一百多年後，即1846年，尤斯托.伯拉維提斯將這一定理推廣到可微函數，並把此定理命名為羅爾定理。
【極值點與駐點的糾葛】
極值點：在一小個區域上比附近的點的函數值都大的叫做極大值點（小的同理）
駐點：一階導數為0的點
極值點不一定是駐點：因為不一定可導，比如|x|在x=0時候的情況
反過來：駐點也不一定是極值點，比如x^3在x=0時候的情況
我去，那還說個毛啊，有什麼意義啊，都一個個的不一定。
客官別急，它倆還是有關係的-----
呃，別想多了，它倆的關係是：可導的極值點必然是駐點
也就是費馬引理
【費馬引理】
大名鼎鼎的費馬大定理，難倒了多少英雄好漢，還是很難的。不過還好，現在只是說說費馬引理，
還是可以接受的。話說不是說羅爾中值定理嗎，怎麼極值點，駐點，費馬引理一大堆啊？
幹嘛啊，能不能拐彎抹角少一點啊？客官別急，費馬引理對羅爾中值定理的證明有很大幫助，正可謂磨刀不誤砍柴工，
前面提一下這些還是有必要的，而且，也不複雜，不信你看。
費馬引理的內容：可導的極值點導數為0
（也就是可導的極值點是駐點）
【費馬引理-證明】
不妨以極大值為例，極小值情況類似即可。
設c為f(x)的極大值，x1<c<x2，
有f(x1)<f(c)>f(x2)
且 c-x1>0 , c-x2<0
則 f(c)-f(x1) / c-x1 >0---分子分母都是正的
f(c)-f(x2) / c-x2 <0 ---分子正，分母負
在x1->c,x2->c過程中，
因為極限的保號性，
可得c的左導數≥0，
c的右導數≤0
因為c可導，所以得到f(c)=左導數=右導數=0
【羅爾中值定理】
定理內容：f在閉區間連續，開區間可導，端點處f(a)=f(b)，
則至少存在一點c，使得f(c)=0
(這些條件都是千錘百鍊出深山，烈火焚燒若等閑的了，缺一不可，多一浪費)
【定理理解】
羅爾定理圖形理解，在a,b中間存在一些點，使得其切線和x軸平行
【羅爾中值定理證明---so easy】
有了費馬引理之後，證明羅爾定理真是砍瓜切菜般簡單啊，爽爆了，
都不用什麼符號，公式推導，直接靠邏輯推理就行。很是簡潔，話不多少，
開證如下：
1若f的最大值，最小值都在端點處，顯然此時f恆為常數，
此時f上處處導數為0，此時定理顯然成立
2若f的最大值，最小值不能同時取到，則必有其一位於（a,b)之間，
不妨設最大值位於a,b之間，因為最大值肯定是極大值點，
且可導，所以導數為0，是駐點，則此時定理也成立
（看吧，多清爽啊，真是so easy）
【中值定理祖師爺的地位】
羅爾中值定理是微分學中一條重要的定理，是三大微分中值定理中的祖師爺，
別跟我說你連三大微分中值定理是啥都不知道，聽好了，分別是：
羅爾中值定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理，
之所以說羅爾定理是祖師爺，因為通過羅爾定理，構造一些輔助函數，
從而輕鬆證明後續的拉格朗日中值定理，柯西中值定理。
數學的定理其實就如同一個個的工具包，好的定理就是好的工具，用起來很舒服，
有了好的現成的工具，幹活時候就不用什麼都重新來一遍，提高了效率。
在發展過程中，費馬引理還得細緻地討論左導數，右導數，極限情形，非常底層，
到了羅爾就不用考慮這些底層的細節了，直接拿來主義，只用討論一下最大值，
最小值的情況就好了，如此重要的祖師爺級別的定理，證明居然so easy,堪稱數學證明中的一股清流，也是一朵奇葩。
而到了拉格朗日，柯西，哈哈，我們連最大值最小值都不用討論了，更別提什麼極限，左導數，右導數那些更低層的細節，
不然什麼都全部要親自手擼一遍，事事親歷親為，豈不是要累死？
所以，數學中拿來主義還是很有必要的，站在巨人的肩膀上，
事半而功倍，何樂而不為啊
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