第一篇：不等式的套路分析

04-05

關於不等式的內容大概有：

①利用基本不等式 $a+bgeq 2sqrt{ab}$ 求最大最小值

對於基本不等式，使用要注意「一正二定三相等」，一正是指兩個代數式要是正數，而是使用時根號內能消去變量，使之 $geq$ 某定值。比如說 $2x+frac{1}{x^2} geq 2sqrt{2xcdot frac{1}{x^2} } =2sqrt{frac{2}{x} }$ ,右邊就不是定值，所以我們必須這樣用 $2x+frac{1}{x^2}=x+x+ frac{1}{x^2}geq 3sqrt[3]{xcdot xcdot frac{1}{x^2} } =3$ (此時是≥一個確定的數) 。三是等號取到的條件是 $a=b$ 。

②根據已知不等式求解集

常見的求不等式解集類型有：

多項式不等式，如 $(x-3)(x-2)^3(x^2-x+4)>0$ 。套路方法：穿針法，要注意最高項系數要確保是正數(如果不是就化為正的)，同時去掉一些偶數次方的項(此時標記 $x e a$ )和必為正數的項。比如 $x^2-2x+3=(x-1 )^2+2>0$ ,不等式就可以簡化為： $(x-3)(x-2)>0 (x e 2)$ 。對於分式多項式，先化為多項式不等式。比如 $frac{(x-3)}{(x-2)^3(x^2-x+4)} >0$ ，這跟前面的不等式本質上一樣。
對數、指數不等式，如 $2^{2x}-3cdot 2^{x+2}+32<0$ , $left[ log_{2}(2^x-1) ight] ^2+log_{2}(2^x-1) -2<0$ 。套路是先換元，然後十字相乘法分解，最後找出 $x$ 的範圍。而對於 $left( frac{1}{3} ight)^{x^2-8} <3^{-2x}$ , $log_{0.3}(x^2-3x-4)>log_{0.3}(2x+10)$ ,套路都是利用指數對數的增減性列出一條不等式，而對於對數函數，還要保證兩邊的正數大於0。根據經驗，部分同學往往忘記這一點。
絕對值不等式，如 $|x+1|<|x-3|$ , $|x+3|<|x-5|+2$ 。套路是用零點分段法統一分類討論處理。須留意，分段時， $x$ 一定是在某個範圍的，化開絕對值後，整理你會得到 $x$ 的另一個範圍，要留意此時的取值範圍與分類討論的範圍是否矛盾，如果矛盾則在此範圍內為空集，進入下一個範圍的討論；如果不矛盾，則取交集，進入下一個範圍的討論。
根號不等式。細分大概分三類，

一類是 $sqrt{f(x)}<g(x)$ ，此時解集為 $f(x)geq 0,g(x)>0, f(x)>g(x)cdot g(x)$ 的交集。

一類是 $sqrt{f(x)}>g(x)$ ，此時分 $g(x)$ 是否大於0。① $f(x)geq 0,g(x)>0, f(x)>g(x)cdot g(x)$ ，和前面一樣，② $f(x)geq 0,g(x)<0$ ,此時無須再平方，因為既然 $g(x)<0$ ,那 $sqrt{f(x)}>g(x)$ 必然是成立的，需要保證根號內的 $f(x)$ 有意義即可。