微積分導航

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　　 從物理學巨人牛頓發明了微積分以來footnote{一般認為牛頓和萊布尼茲都分別在十七世紀中獨立地發明了微積分， 然而他們都聲稱對方竊取了自己的成果，並為此爭執了一生}， 微積分就在物理學的各個方面被大量使用． 高中的物理教學有意避開了使用微積分， 但從本科的學習開始， 微積分與物理將形影不離． 不誇張地說， 不懂微積分， 就幾乎不懂物理． 微積分最核心的內容就是極限， 求導/微分， 積分， 常/偏微分方程和無窮級數．

極限

　　 極限的概念是微積分的基礎，大致可以理解為「某個表達式在某個量為無窮小或無窮大時所趨近的值」， 例如 在 時的極限為零， 在 時的極限為 .

導數

　　 理解極限了以後，導數 便是一個首要的應用．事實上高中物理的許多物理量都使用了導數的概念，只是沒有提出「導數」這個詞． 例如（瞬時）速度的定義就是 在 （趨近於0）時的極限， 而這恰好是導數的定義， 即速度是位置矢量（關於時間的函數） 對時間的導數． 同理， 加速度矢量是速度矢量（關於時間的函數）對時間求導． 又例如， 高中對勻速圓周運動的向心加速度的推導過程中就運用了幾何微元法， 在微小時間 內計算圓周運動速度矢量的微小變化． 學習了矢量求導 以後， 就不必再使用這種不成熟的「幾何微元法」而直接按照矢量求導法則即可嚴謹而輕易地得出向心加速度的公式 ， 甚至可以計算非勻速圓周運動乃至任意變速曲線運動的加速度．

積分

　　 高中物理中，位移等於速度 乘以時間 ， 功 等於力 乘以位移 等概念都已經耳熟能詳．然而如果速度隨時間變化或者力隨位置變化時，就不能用簡單的乘法來計算這些問題．這時一個基本的思想就是把時間或位移分成許多小份，每份中的速度或力都近似為恆定不變，然後再把所有小份的位移或做功加起來即可．這時用極限的思想，求出當這些小份為無窮小（或者說分成無窮多份）時求和的極限，就得到了總位移和總功．這個過程叫做定積分， 以上例子中變化的量（速度，密度，力）． 在求定積分時，我們需要先求出一個原函數， 而巧妙的地方在於，

微分方程

　　 大量的物理定律和問題都是通過微分方程（組）來描述的． 最簡單的微分方程是線性常微分微分方程，是函數 及不同階導 ， 以及自變數 組成的等式． 例如力學中著名的彈簧振子（又稱簡諧振子）模型就是通過二階線性常微分方程（二階代表方程中出現的最高階導數為2）．

　　 中， 結合牛頓第二定律 和胡克定律得到 其中位移 可看做關於時間的函數 ， 是未知函數（微分方程的解）， 加速度是時間的二階導數 ． 所以微分方程為

　　 本章介紹本書物理部分需要使用的微積分內容， 並以幫助讀者理解為主而不求嚴謹詳盡． 對於一些定理如自然對數底極限和非整數冪的二項式定理， 本章只給出數值驗證的方法．

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