Galois理論初步(3)——分裂域

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本節的任務是介紹分裂域的概念，並證明其存在性與唯一性.

利用 $F(S_1cup S_2)=F(S_1)(S_2)$ ，我們可以通過單擴張研究由有限集 $S$ 生成的域擴張. 其中一個重要情形就是分裂域.

定義1 設有域擴張 $K/F$ ，若域 $F$ 上的多項式 $f(x)$ 在域 $K$ 上可以完全分解為一次因式 $f(x)=(x-alpha_1)dots(x-alpha_n)$ ，且有 $K=F(alpha_1,dots,alpha_n)$ . 則稱域 $K$ 為多項式 $f$ 在域 $F$ 上的分裂域. 由定義易得域擴張 $K/F$ 是有限擴張.

例1 $n$ 次分圓域 $mathbb Q(omega_n)$ 是 $n$ 次分圓多項式 $xi_n$ 在 $mathbb Q$ 上的分裂域，這是因為 $n$ 次分圓多項式 $xi_n(x)=Pi_{(n,k)=1} (x-omega_n^k)=Pi_{j=1}^{r_n} (x-omega_n^{k_j})$ , 其分裂域為 $mathbb Q(omega_n^{k_1}, dots, omega_n^{k_{r_n}})=mathbb Q(omega_n^{k_1})=mathbb Q(omega_n)$ ，這表明該分裂域可以通過添加一次多項式 $f$ 的根的單代數擴張得到.

例2 上例是一個比較特別的例子，因為存在不能通過添加一次多項式 $f$ 的根的單代數擴張得到的 $f$ 的分裂域. 考慮多項式 $f(x)=x^3-2$ ，其根為 $sqrt[3]{2},omega sqrt[3]{2},omega^2 sqrt[3]{2}$ ，這裡 $omega=frac{-1+isqrt 3}{2}$ . 則 $f(x)$ 在 $mathbb Q$ 上的分裂域. 注意到 $omega$ 的最小多項式 $x^2+x+1$ 在 $mathbb Q(sqrt[3] 2)$ 上仍為不可約多項式，從而有 $[mathbb Q(sqrt[3]2,omega):mathbb Q]=[mathbb Q(sqrt[3]2,omega):mathbb Q(sqrt[3]2)][mathbb Q(sqrt[3]{2}):mathbb Q]=2*3=6$ .

但對於每個根 $sqrt[3]2omega^j$ ， $mathbb Q(sqrt[3]2omega^j) cong mathbb Q[x]/{(x^3-2)},j=0,1,2$ 的擴張次數為 $3$ .

還可以注意到一個現象，對 $mathbb Q$ 上不可約多項式 $f$ 在 $mathbb Q(sqrt[3]2,omega)$ 上可分解為一次因式的乘積，存在中間域 $mathbb Q(sqrt[3]2)$ 使得 $f(x)$ 「部分可分解為一次因式的乘積」，即從不可約域到分裂域之間，確實有「中間域」.

問題1 域擴張 $mathbb Q(sqrt[3]2,omega)/mathbb Q$ 能否通過一次單代數擴張得到?

下面我們考慮分裂域的存在性與同構意義下的唯一性. 存在性的回答是肯定的，而同構映射也是可以建立的，這兩點確定了分裂域在研究域擴張時的重要性.

命題1 域 $F$ 上的多項式 $f(x)$ 在域 $F$ 上的分裂域存在，且擴張次數不大於 $(deg f)!$ .

證明這一點思路是明確的，即利用每次單代數擴張後多項式有了新的根從而可能分解出一次因式這個事實，並利用歸納法.
對多項式 $f$ 的次數 $n=deg f$ 做歸納，當 $n=1$ 時 $f(x)$ 是一次因式，命題顯然成立. 現假設對於適合 $deg f<n$ 的多項式命題成立，考慮 $deg f=n$ 的情形, 不妨設 $f(x)$ 在域 $F$ 上不能分解為一次因式，即存在 $g(x),h(x)$ ,其中 $deg g(x)>2$ 且不可約，使得 $f(x)=g(x)h(x)$ ，則做 $g(x)$ 的單代數擴張 $F1 cong F[x]/(g(x))$ ，則根據上節命題3，在域 $F_1$ 上我們有 $g(x)=(x-alpha)g_1(x)$ ,即 $f(x)=(x-alpha)g_1(x)h(x)$ .

此時 $deg g_1h< n$ ，利用歸納假設，令 $E$ 為 $g_1(x)h(x)$ 在 $F_1$ 上的分裂域，擴張次數 $[E:F_1] leq(n-1)!$ . 注意到 $g_1(x)h(x)$ 在 $F_1$ 上的分裂域即為 $f(x)$ 在 $F_1$ 上的分裂域，因為 $g_1h$ 在其分裂域 $E$ 上可以分解為一次因式 $g_1(x)=(x-alpha_1)dots(x-alpha_k)$ , $h(x)=(x-eta_1)dots(x-eta_m)$ ,即 $f(x)=(x-alpha)g_1(x)h(x)$ 可以分解為一次因式，且根據分裂域的定義， $E=F_1(alpha_1,dots,eta_m)=F_1(alpha,alpha_1,dots,eta_m)$ , 這表明 $E$ 是 $f$ 在 $F_1$ 上的分裂域.而 $F_1=F(alpha)$ ， $F_1(alpha,alpha_1,dots,eta_m)=F(alpha,alpha_1,dots,eta_m)$ ， $E$ 是 $f$ 在 $F_1$ 上的分裂域，因此擴張次數 $[E:F]leq [E:F_1]:[F_1:F] leq(n-1)! * n=n!$ ,證畢.

命題2 設域 $E$ 與 $E$ 均為域 $F$ 上的多項式 $f(x)$ 在域 $F$ 上的分裂域，則 $E$ 與 $E$ 同構. 進一步，(我們除了關心同構的存在性，還關心同構的數量，這裡我們有） $E$ 與 $E』$ 同構的個數不超過域擴張 $E/F$ 的次數.

為了證明這個命題，我們的思路是將 $F$ 上的同構映射即恆等映射 $id_F: F ightarrow F$ 拓展到從分裂域 $E$ 到分裂域 $E^prime$ 的同構映射 $sigma : E ightarrow E$ . 首先考慮最簡單的情形，將恆等映射拓展到單代數擴張生成的域上. 為了以後使用方便，我們將恆等映射替換為一般的同構映射.

引理1 設有域擴張 $E/F$ , $E/F』$ 與同構 $eta: F ightarrow F$ . 對於 $E$ 中 $F$ 上代數元 $alpha$ ，最小多項式為 $f(x)=c_0+c_1x+dots+c_rx^r in F[x]$ ，同構 $eta$ 可以拓展到 $F(alpha)$ 到 $E$ 的單同態 $sigma:F(alpha) ightarrow E$ 的充要條件是， $f^eta(x)=eta(c_0)+eta(c_1)x+dots+eta(c_r)x^r$ 在 $E』$ 上有根.

證明：先證必要性，即設存在單同態 $sigma:F(alpha) ightarrow E$ ，使得 $left.sigma ight|_F=eta$ . 考慮 $eta=sigma(alpha)$ 是否為 $f^eta$ 的根，由 $sigma$ 是同態，有 $f^eta(eta)=sum_i^reta(c_i)sigma(alpha)^i=sum_i^rsigma(c_i)sigma(alpha)^i=$ $sigma(sum_i^rc_ialpha^i)=sigma(f(alpha))=0$
再證充分性，設 $f^eta$ 在 $E』$ 上有根 $etain E$ ,注意到 $F(alpha)cong F[x]/(f(x))cong F[x]/(f^eta(x))cong F(eta) subset E$ .

上式第二個等式成立是因為有環同構 $ilde{eta}: F[x] ightarrow F[x]$ ,且有 $eta(f(x))=f^eta(x)$ .

我們現在證明命題2的一般版本.

命題2』 設域 $F$ 與域 $F』$ 之間有同構 $eta: F ightarrow F$ ， $f^eta$ 是 $F$ 上多項式 $f$ 在 $eta$ 下的像. 域 $E$ 與 $E$ 分別為域 $F$ 及 $F』$ 上的多項式 $f(x)$ 及 $f^eta(x)$ 在域 $F$ 上的分裂域，則同構映射 $eta$ 可以延拓為 $E$ 與 $E$ 的同構 $sigma:E ightarrow E$ ，即 $left.sigma ight|_F=eta$ . 進一步，(我們除了關心同構的存在性，還關心同構的數量，這裡我們有）延拓同構的個數不超過域擴張 $E/F$ 的次數.

證明，對擴張 $E/F$ 的次數做歸納法. 當 $[E:F]=1$ 時 $sigma=eta$ ，命題成立.
假設對任意域擴張 $[K:F]<n$ 時命題成立，考慮 $[E:F]=n$ 的情形.

設在域 $E$ 上有 $f(x)=prod_{i=1}^r(x-alpha_i)$ ，則 .
設在域 $E$ 上有 $f^eta(x)=prod_{i=1}^r(x-eta_i)$ ，則 $E=F(eta_1,...eta_r)$ .
由 $[E:F]>1$ ，不妨設 $alpha_1$ 在 $F$ 上的最小多項式 $m(x)$ 次數大於1，則由 $f(x)$ 是 $alpha_1$ 在 $F$ 上的零化多項式， $m(x)|f(x)$ ，因此 $m^eta(x)|f^eta(x)$ . 從而由在 $E』$ 上 $f^eta(x)$ 分解為一次因式的乘積， $m^eta(x)$ 也分解為一次因式的乘積，故 $m^eta$ 在 $E』$ 上有根 $eta_{i_1}$ . 根據引理1，同構 $eta$ 可以延拓為域同構 $sigma_1:F(alpha_1) ightarrow F(eta_{i_1})$ .
且延拓的個數不超過 $r=[F(alpha_1):F]$ 個，因為 $sigma_1(alpha_1)=eta_{i_1}$ 是 $f^eta$ 的根.
將 $f$ 看做 $F(alpha_1)$ 上多項式，則 $E$ 為 $f$ 在 $F(alpha_1)$ 上分裂域，對 $f^eta$ 做同樣的推導，則根據歸納假設有同構 $sigma_1$ 可延拓為同構 $sigma:E ightarrow E$ ，且同構數量不超過 $[E:F(alpha_1)]$ .
從而有 $eta:F ightarrow F$ 可延拓為 $sigma:E ightarrow E$ ，延拓數量不超過 $[E:F(alpha_1)][F(alpha_1):F]=[E:F]$ ，證畢.

下節我們介紹分裂域的一個神奇的性質，並引出正規擴張的概念.