八大類型行列式及其解法

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本文記錄了八大常見類型的行列式及其解法，解法從一般性到特殊性都有，分享給大家，例子都特別經典好用，希望對線代、高代初學者以及考研黨有用。

類型總覽：

箭型行列式
兩三角型行列式
兩條線型行列式
范德蒙德型行列式
Hessenberg型行列式
三對角型行列式
各行元素和相等型行列式
相鄰兩行對應元素相差K倍型行列式

方法總覽：

拆行法
升階法
方程組法
累加消點法
累加法
遞推法（特徵方程法）
步步差法

一：箭型行列式

最常見最常用的行列式，特徵很好辨識，必須掌握，請看下例：

$eg:D_n= left|egin{array}{cccc} x_1&1&1 &... &1\ 1&x_2&&&\ 1&&x_3\ ...&&&...\ 1&&&...&x_n end{array} ight|$ (空白處都為0)

$Solution:$ 將第一列元素依次減去第 $i$ 列的 $frac{1}{x_i},i=2...n$

得：

$D_n= left|egin{array}{cccc} x_1-frac{1}{x_2}-...-frac{1}{x_n}&1&1 &... &1\ 0&x_2&&&\ 0&&x_3\ ...&&&...\ 0&&&...&x_n end{array} ight|$

所以：

$D_n=prod_{i=2}^{n}x_i(x_1-sum_{i=2}^{n}frac{1}{x_i})$

二：兩三角型行列式

1、特徵為對角線上方元素均為 $a$ ,下方元素均為 $b$

當 $a=b$ 時可化為箭型行列式計算，當 $a ot=b$ 時採用拆行法計算，請看下面兩例

$eg1(a=b):D_n=left|egin{array}{cccc} x_1&b&b &... &b\ b&x_2&b&...&b\ b&b&x_3&...&b\ ...&...&...&...&...\ b&b&b&...&x_n end{array} ight|$

$Solution:$ 將第 $i，i=2...n$ 行都減去第一行

得：

$D_n=left|egin{array}{cccc} x_1&b&b &... &b\ b-x_1&x_2-b&0&...&0\ b-x_1&0&x_3-b&...&0\ ...&...&...&...&...\ b-x_1&0&0&...&x_n-b end{array} ight|$

即化成了箭型行列式，所以：

$D_n=[prod_{i=2}^{n}(x_i-b)] imes[x_1-b(b-x_1)sum_{i=2}^{n}frac{1}{x_i-b}]$

$eg2(a ot=b):D_n=left|egin{array}{cccc} x_1&a&a &... &a\ b&x_2&a&...&a\ b&b&x_3&...&a\ ...&...&...&...&...\ b&b&b&...&x_n end{array} ight|$

$Solution:$ 採用拆行法，目的是為了降階

$D_n=left|egin{array}{cccc} x_1&a&a &... &a+0\ b&x_2&a&...&a+0\ b&b&x_3&...&a+0\ ...&...&...&...&...\ b&b&b&...&x_n+b-b end{array} ight|$

$D_n=left|egin{array}{cccc} x_1&a&a &... &a\ b&x_2&a&...&a\ b&b&x_3&...&a\ ...&...&...&...&...\ b&b&b&...&b end{array} ight|_{(*)}+left|egin{array}{cccc} x_1&a&a &... &0\ b&x_2&a&...&0\ b&b&x_3&...&0\ ...&...&...&...&...\ b&b&b&...&x_n-b end{array} ight|$

將 $(*)$ 第 $i,i=1...n-1$ 列都減去最後一列，得：

$D_n=left|egin{array}{cccc} x_1-a&0&0 &... &a\ b-a&x_2-a&0&...&a\ b-a&b-a&x_3-a&...&a\ ...&...&...&...&...\ 0&0&0&...&b end{array} ight|+(x_n-b)D_{n-1}$

所以：

$D_n=bprod_{i=1}^{n-1}(x_i-a)+(x_n-b)D_{n-1}$ $(1)$ $(1)$

再由行列式裝置不變性得到：

$D_n=aprod_{i=1}^{n-1}(x_i-b)+(x_n-a)D_{n-1}$ $(2)$

聯立 $(1)(2)$ ,得通式：

$D_n=frac{1}{a-b}[aprod_{i=1}^{n}(x_i-b)-bprod_{j=1}^{n}(x_j-a)]$

2、通過適當變換可以化為兩三角型行列式的，描述不如大家自己看例子揣摩，也很容易理解的，請看下例

$eg3:D_n=left|egin{array}{cccc} d&b&b &... &b\ c&x&a&...&a\ c&a&x&...&a\ ...&...&...&...&...\ c&a&a&...&x end{array} ight|$

$Solution:$ 將第一行乘上 $frac{a}{b}$ ，第一列乘上 $frac{a}{c}$ ，得：

$D_n=frac{bc}{a^2}left|egin{array}{cccc} frac{a^2d}{bc}&a&a &... &a\ a&x&a&...&a\ a&a&x&...&a\ ...&...&...&...&...\ a&a&a&...&x end{array} ight|$

即化成了兩三角型行列式

3、一些每行上有公因子但是無法向上式那樣在保持行列式不變得基礎上能提出公因子的，採用升階法，請看下例

$eg4:D_n=left|egin{array}{cccc} 1+x_{1}^2&x_1x_2&x_1x_3 &... &x_1x_n\ x_2x_1&1+x_{2}^2&x_2x_3&...&x_2x_n\ x_3x_1&x_3x_2&1+x_{3}^2&...&x_3x_n\ ...&...&...&...&...\ x_nx_1&x_nx_2&x_nx_3&...&1+x_{n}^2 end{array} ight|$

$Solution:$ 加邊升階，得：

$D_n=left|egin{array}{cccc} 1&x_1&x_2&x_3&...&x_n\ 0&1+x_{1}^2&x_1x_2&x_1x_3 &... &x_1x_n\ 0&x_2x_1&1+x_{2}^2&x_2x_3&...&x_2x_n\ 0&x_3x_1&x_3x_2&1+x_{3}^2&...&x_3x_n\ 0&...&...&...&...&...\ 0&x_nx_1&x_nx_2&x_nx_3&...&1+x_{n}^2 end{array} ight|$

再將第 $i,i=2...n+1$ 都減去第一行的 $x_i，i=1...n$ 倍，得：

$D_n=left|egin{array}{cccc} 1&x_1&x_2&x_3&...&x_n\ -x_1&1&0&0 &... &0\ -x_2&0&1&0&...&0\ -x_3&0&0&1&...&0\ 0&...&...&...&...&...\ -x_n&0&0&0&...&1 end{array} ight|$

即又化成了箭型行列式，可得通式：

$D_n=1+sum_{i=1}^{n}x_{i}^{2}$

三：兩條線型行列式

特徵是除了主(次)對角線或與其相鄰得一條斜線所組成的任意一條線加四個頂點中的某個頂點外，其他元素均為0，這類行列式可以直接展開降階。這段描述有點繁瑣，但其實也並不複雜，請看下例理解

$eg3:D_n=left|egin{array}{cccc} a_1&b_1& &... &\ &a_2&b_2&...&\ &&a_3&...&\ &&&\ &&...&a_{n-1}&b_{n-1} \ b_n&&...&&a_n end{array} ight|$ (空白處都為0)

$Solution:$ 按照第一列兩個非0元素拉普拉斯展開即可

$D_n=prod_{i=1}^{n}a_i+(-1)^{n+1}prod_{i=1}^{n}b_i$

四：范德蒙德型行列式

范德蒙德行列式大家應該熟悉，而范德蒙德型行列式的特徵就是有逐行(列)元素按冪遞增(減)，可以將其轉化為范德蒙德行列式來計算，請看下例

$eg:D_n=left|egin{array}{cccc} a_{1}^n& a_{1}^{n-1}b_1&... &a_1b_1^{n-1}&b_1^n\ a_{2}^n&a_{2}^{n-1}b_2&...&a_2b_2^{n-1}&b_2^n\ ...&...&...&...&...\ a_{n}^n&a_{n}^{n-1}b_n&...&a_nb_n^{n-1}&b_n^n\ a_{n+1}^n&a_{n+1}^{n-1}b_{n+1}&...&a_{n+1}b_{n+1}^{n-1}&b_{n+1}^n end{array} ight|$

$Solution:$ 將每行都提出 $a_i^{n},i=1...n+1$ 倍，得：

$D_n=prod_{i=1}^{n+1}a_i^nleft|egin{array}{cccc} 1& frac{b_1}{a_1}&... &(frac{b_1}{a_1})^{n-1}&(frac{b_1}{a_1})^{n}\ 1&frac{b_2}{a_2}&...&(frac{b_2}{a_2})^{n-1}&(frac{b_2}{a_2})^{n}\ ...&...&...&...&...\ 1&frac{b_n}{a_n}&...&(frac{b_n}{a_n})^{n-1}&(frac{b_n}{a_n})^{n}\ 1&frac{b_{n+1}}{a_{n+1}}&...&(frac{b_{n+1}}{a_{n+1}})^{n-1}&(frac{b_{n+1}}{a_{n+1}})^{n} end{array} ight|$

上式即為范德蒙德行列式，所以通式為：

$D_n=prod_{1le i<jle n+1}(a_ib_j-b_ia_j)$

五：Hessenberg型行列式

特徵為除了主(次)對角線及與其相鄰的斜線，再加上第一行(列)或第n行(列)外，其餘元素均為0。這類行列式有點像前面說的兩條線型行列式，但是還是有一點區別的。這類行列式都用累加消點法，即通常將某一行(列)都化簡到只有一個非0元素，以便於降階計算，請看下例

$eg:D_n= left|egin{array}{cccc} 1&2&3 &... &n-1&n\ 1&-1&&&&\ &2&-2&...\ ...&...&...&...&...&...\ &&&n-2&2-n&\ &&&...&n-1&1-n end{array} ight|$

$Solution:$ 將各列都加到第一列，得到：

$D_n= left|egin{array}{cccc} frac{n(n+1)}{2}&2&3 &... &n-1&n\ 0&-1&&&&\ 0&2&-2&...\ ...&...&...&...&...&...\ 0&&&n-2&2-n&\ 0&&&...&n-1&1-n end{array} ight|$

降階之後再重複上述步驟即可得到通式：

$D_n=(-1)^{n-1}frac{(n+1)!}{2}$

註：需要說明的是，上面舉的例子比較容易看出如何實施累加消點法就可以實現將某一行(列)都化簡到只有一個非0元素從而達到降階的目的，但是還有很多Hessenberg型行列式並不這麼容易就做到，還需要大家找找技巧稍微變換一下，只要始終記得你要用累加消點法來消元來降階就可以了

六：三對角型行列式

這是一種遞推結構的行列式，特徵為所有主子式都有相同的結構，從而以最後一列展開，將所得的 $(n-1)$ 階行列式再展開即得遞推公式，即遞推法(特徵方程法)，請看下例

$eg:D_n= left|egin{array}{cccc} a&b& &&... &&&\ c&a&b&&...&&&\ &c&a&b&...&&\ ...&...&...&...&...&\ &&&&...&a&b\ &&&&...&c&a end{array} ight|$

$Solution:$ 按第一列拉普拉斯展開，得：

$D_n=aD_{n-1}-bcD_{n-2}$

解特徵方程： $x^2=ax-bc$ ，得：

$x_1=frac{a+sqrt{a^2-4bc}}{2}$ $x_2=frac{a-sqrt{a^2-4bc}}{2}$

即可得通式：

$D_n = frac{x_1^{n+1}-x_2^{n+1}}{x_1-x_2}$

註：特徵方程法我沒記錯的話，應該是在高中將數列的時候用到的。貌似還叫不動點法？大概吧 ...

七：各行元素和相等型行列式

這個特徵已經很清楚了吧，方法就是累加法，很簡單，直接看下例

$eg:D_n= left|egin{array}{cccc} 1+x_1&x_1 &... &x_1\ x_2&1+x_2&...&x_2\ ...&...&...&...\ x_n&x_n&...&1+x_n end{array} ight|$

$Solution:$ 將第 $i,i=2...n$ 行都加到第一行去，得：

$D_n= left|egin{array}{cccc} 1+sum_{i=1}^{n}x_i&1+sum_{i=1}^{n}x_i &... &1+sum_{i=1}^{n}x_i\ x_2&1+x_2&...&x_2\ ...&...&...&...\ x_n&x_n&...&1+x_n end{array} ight|$

所以：

$D_n= (1+sum_{i=1}^{n}x_i)left|egin{array}{cccc} 1&1 &... &1\ x_2&1+x_2&...&x_2\ ...&...&...&...\ x_n&x_n&...&1+x_n end{array} ight|= (1+sum_{i=1}^{n}x_i)left|egin{array}{cccc} 1&0&... &0\ x_2&1&...&0\ ...&...&...&...\ x_n&0&...&1 end{array} ight|=1+sum_{i=1}^{n}x_i$

八：相鄰兩行對應元素相差K倍型行列式

這個要用步步差法

(1)大部分元素為數字，且相鄰兩行對應元素相差為1，採用逐步作差的方法，即可出現大量 $pm1$ 元素，進而出現大量0元素

(2)若相鄰兩行相差K倍，採用逐步作k倍差得方法，即可出現大量0元素

請看下面兩個例子

$eg1:D_n= left|egin{array}{cccc} 0&1&2 &...&n-2 &n-1\ 1&0&1&...&n-3&n-2\ 2&1&0&...&n-4&n-3\ ...&...&...&...&...&...\ n-2&n-3&n-4&...&0&1\ n-1&n-2&n-3&...&1&0 end{array} ight|$

$Solution:$ 從第一行開始，依次用前一行減去後一行，得：

$D_n= left|egin{array}{cccc} -1&1&1 &...&1 &1\ -1&-1&1&...&1&1\ -1&-1&-1&...&1&1\ ...&...&...&...&...&...\ -1&-1&-1&...&-1&1\ n-1&n-2&n-3&...&1&0 end{array} ight|$

再將第一列加到第 $i,i=2...n$ 列，得：

$D_n= left|egin{array}{cccc} -1&0&0&...&0&0\ -1&-2&0&...&0&0\ -1&-2&-2&...&0&0\ ...&...&...&...&...&...\ -1&-2&-2&...&-2&0\ n-1&2n-3&2n-4&...&n&n-1 end{array} ight|=(-1)^{n-1}(-2)^{n-2}(n-1)$

$eg2:D_n= left|egin{array}{cccc} 1&a&a^2 &...&a^{n-2} &a^{n-1}\ a^{n-1}&1&a&...&a^{n-3} &a^{n-2} \ a^{n-2} &a^{n-1} &1&...&a^{n-4} &a^{n-3} \ ...&...&...&...&...&...\ a^2&a^3&a^4&...&1&a\ a&a^2&a^3&...&a^{n-1}&1 end{array} ight|$

$Solution:$ 從第一行開始，依次用前一行減去後一行的 $(-a)$ 倍，得：

$D_n= left|egin{array}{cccc} 1-a^n&0&0&...&0&0\ a^{n-1}&1-a^n&0&...&0 &0\ 0 &0 &1-a^n&...&0&0 \ ...&...&...&...&...&...\ 0&0&0&...&1-a^n&0\ a&a^2&a^3&...&a^{n-1}&1 end{array} ight|$

所以：

$D_n=(1-a^n)^{n-1}$

以上就是八大常見類型行列式及其解法，一般你無法直接做的行列式，基本上逃不出這幾種類型。謝謝瀏覽！碼字不易，覺得有用的點個贊啊謝謝您嘞！

3：34，哈哈第一次用知乎latex寫文章，感覺很不錯，好睏，睡覺睡覺........

更新:感謝知友 @歸航return 的指正?

在特徵根相等的時候，那個通項公式失效了。白璧微瑕。