怎樣區分充分性、必要性

04-03

我是一名數學與應用數學專業的學生，大一上學期時開了兩門數學相關的課，一門是「數學分析」，另一個是「空間解析幾何」，兩門課均有大量的證明。在證明充要條件時，需要分別證明出「條件能推出結論」和「結論能推出條件」，但是，「充要條件」的「條件」和「結論」不是能互換的嗎？在證明充分性時，將哪個作為條件,哪個作為結論呢？在證明必要性時，又該當如何？直到在知網看到一篇論文，我才明白了。

充要條件證明題的敘述方式一般有這兩種：一是「求證：A是B的充要條件」；二是「求證：A的充要條件是B」。由條件出發推出結論就是證明充分性，反之就是證明必要性。把這兩種方式中加粗的字重讀出來，哪個是「條件」是不是一目了然了呢。在一中，A是條件，由A推出B就是證明充分性，反之由B推出A就是證明必要性；在二中，條件是B，所以由B推出A就是證明充分性，反之由A推出B就是證明必P要性。

下面以《解析幾何》(高等教育出版社)上面的一道例題為例。

P8.例1 設互不共線的三向量a, b, 與c,試證明順次將它們的終點與始點相連而成一個三角形的充要條件是它們的和是零向量.

證

必要性

設三向量 $vec{a}, vec{b}, vec{c}$ 可以構成三角形ABC，即有 $vec{AB} = vec{a}, vec{BC} = {b}, vec{CA} = vec{c}$ ,那麼 $vec{AB} + vec{BC} + vec{CA} = vec{AA} = vec{0}$ ,即 $vec{a} + vec{b} + vec{c} = vec{0}$ .

充分性

設 $vec{a} + vec{b} + vec{c} = vec{0}$ ，作 $vec{AB} = vec{a}, vec{BC} = vec{b}$ ，那麼 $vec{AC} = vec{a} + vec{b}$ ，所以 $vec{AC} + vec{c} = vec{0}$ ，從而 $vec{c}$ 是 $vec{AC}$ 的反向量，因此 $vec{c} = vec{CA}$ ，所以 $vec{a}, vec{b}, vec{c}$ 可構成一個三角形ABC.

參考文獻

[1]王先才. 區分充分性、必要性證明的簡單方法[J]. 中學生數學,2013,(11):6.