辛幾何在研究 PDE 方面有哪些應用？

04-02

聽說辛幾何在微局部分析方面有很多應用，相應地，在研究pseudodifferential operator這些地方也用到了大量相關的辛幾何理論。
我們為什麼要用辛幾何，辛流形來研究pde？
順便問一個外行點的問題，microlocal analysis，differential topology之間有何關聯、微局部分析方向前景如何？

我多年前在人人上提到過，Lagrangian correspondence在Fourier integral operator的研究中有用。在理想情況下，(generalized) Lagrangian correspondence定義了所有辛流形構成的category之間的morphisms，又因為可以定義它們的Floer cohomology（稱為為quilted Floer cohomology），所以所有的辛流形構成2-category。同時，兩個辛流形之間的(generalized) Lagrangian correspondence也能induce Fukaya category之間的 $A_infty$ -functor。它們可以視為代數幾何上motive理論涉及到的category of correspondences在辛幾何上的類比。

考慮immersed Lagrangian correspondence $L_{01}subset T^ast Q_0^- imes T^ast Q_1$ ，其中 $Q_0$ 和 $Q_1$ 是smooth manifold，假設 $L_{01}$ 是away from $T^ast Q_0$ 和 $T^ast Q_1$ 的zero section的，並且invariant under scaling in fibers（即 $L_{01}$ 是conic Lagrangian）。對應於 $L_{01}$ 有一類Fourier integral operators $mathit{FIO}_ ho(L_{01})$ ，這些運算元依賴於real parameter $ho>1/2$ ，並且把 $Q_0$ 上的光滑函數映到 $Q_1$ 上的廣義函數。假設 $Phiinmathit{FIO}_ ho(L_{01})$ ，而 $f,gin C^infty(Q_0)$ ，則

$Phi(f)circPhi(g)=Phi(fcirc g).$

假如 $L_{01}subset T^ast Q_0^- imes T^ast Q_1$ 和 $L_{12}subset T^ast Q_1^- imes T^ast Q_2$ 是兩個Lagrangian correspondence，並且假設 $L_{01} imes L_{12}$ 滿足比較好的性質，從而使這兩個Lagrangian correspondence composable，那麼

$mathit{FIO}_ ho(L_{01})circmathit{FIO}_ ho(L_{12})subsetmathit{FIO}_ ho(L_{01}circ L_{12}).$

據此我們可以定義Hormander category $mathit{Horm}^#$ ，它的objects是全體smooth compact manifolds，而morphism是sequence of pairs $(L_{01},P_{01})$ ，其中 $P_{01}inmathit{FIO}_ ho(L_{01})$ （考慮sequence是為了克服intersection不好的情況下，morphism之間不能compose的缺陷，現在可以考慮formal concatenation作為composition，當然，現在要mod out一些equivalence relation才得到真正的morphism space）。Hormander category中的morphism給出了Fourier integral operator的推廣。

熟悉辛幾何的人都知道，上面對Fourier integral operator的推廣其實只是Lagrangian correspondence的quantization，見

[math/0010059] Introduction to Symplectic Field Theory?

arxiv.org

的Section 2。

我不是特別熟悉這塊。但應該是反過來吧，現在microlocal sheaf的方法對辛幾何影響很大。這基本上開始於Tamarkin的一個工作（不過好像一直沒有發表）。我在數年前曾經試圖學過，但實在是對singular support這些概念沒什麼感覺，就沒有堅持下去。