力學的幾何化

以下內容來自某位老教授的講稿。

力學的動力系統歸結為黎曼幾何、辛幾何、對偶概念、對稱概念、變換、不變數在力學中的應用。從19世紀開始力學和物理學幾何化趨勢明顯。力學研究物質在空間運的運動，因此和幾何學有著密不可分的聯繫。

歷史進程：

1、阿基米德和斯梯芬時代，研究靜力學和天體運動，歐式幾何，代數運算。

2、伽利略惠更斯牛頓萊布尼茨時代，研究自由質點運動，解析幾何，微積分。

3、拉格朗日哈密頓雅克比時代，約束運動，n維空間概念後來成為流形或者黎曼幾何，泛函分析變分法。

4、龐加萊李雅普諾夫時代，動力系統定性理論和穩定性，拓撲學微分拓撲學，同倫與外微分。

力學與物理學每一次的進步都伴隨人們對空間的認識飛躍。人們把研究的物理系統看做一個點，它的變化過程空看做點在空間的運動估計，於是形成了一種擴張的幾何。

位移空間，引進其對偶空間，這個對偶空間描述了空間力向量組成的空間。給定一個力相當於定義了一個在位移空間上做功的線性函數。這就以對偶空間定義了力的概念，它和力學中以大小方向和作用點定義的方式不同，在那裡只說明了力是一個向量而這裡則還把它和位移空間中的元素的關係闡明了。說明了力和位移的對偶概念。

除此之外，還有固體力學中一點的應變狀態和應力狀態構成對偶空間，一般情況下它們是六維的。分析力學中廣義力和廣義位移組成一對n維的對偶空間。