帶阻尼的強迫振動與共振

有一個知乎問題是為什麼對於有阻尼的真實振動，當驅動力的頻率略小於固有頻率時，系統的振幅達到最大值？（這是人教版物理3-4課本中一個小字部分的說明）。估計當年困擾了無數有好奇心的少年，但這是一個2階微分方程，所以高中課本也不可能展開來講

數學推導過程就不重複了，直奔主題，解出這個微分方程是 A(w)=f/(m*(np.sqrt((w0**2-w**2)**2+(w*r)**2)))，OK，下面就可以盡情的慢慢來解讀了。其實在一般真實的物理世界中（假設品質因數Q=10時）最大振幅時，系統的驅動力的頻率和固有頻率差距很小，可以認為近似相等

很不明顯吧，放大來看能看出差別

最關鍵的還是系統的阻尼，阻尼的變化對最大振幅和最大振幅下的驅動力頻率都有較大影響，下面可以很直觀發現品質因數Q值從大到小對系統的影響

由此可見只有當品質因數Q值較大時，驅動力的頻率和固有頻率很接近，但當品質因數Q值較小時，共振頻率有所偏移（變化也不是那麼大），但系統共振的最大振幅被顯著削弱了。

顯然驅動力頻率越接近共振頻率增幅越大

還有驅動力和運動的相位差也隨驅動力的頻率和Q值而變。

顯然發生共振時驅動力和位移的相位差是pi/2

不夠直觀？把力的作用量直接放到位移圖上

再標註一下各位移點的速度量，紅色和綠色箭頭兩者完全重合的，也就是說共振時驅動力和速度完全同相，bingo！

從能量的角度來看，p=f**2*w**2*r/(2*m*((w0**2-w**2)**2+(w*r)**2))也是共振時驅動力做功功率達到巔峰值，也可以說共振狀態時物體對驅動端的能量吸收達到了最大值。另一個值個注意的是Q值的大小對驅動力功率輸出的影響也非常的耐人尋味，高Q系統的平均功率不僅峰值高度很高，而且特別的窄，也就是說它對驅動力頻率及其敏感，哪怕你改變了很微小的一點驅動頻率也能使最後的結果大不相同。

總的來說，目前物理學和日常生活經驗獲得了統一。盪鞦韆時坐在鞦韆上的人盪到中心點最快速度點時，小夥伴在身後順勢推一把鞦韆才能盪的更高；玩溜溜球時球往下的速度最快的時候玩家用力往上一提，溜溜球才會轉的更快；股票的股價上升最快（而不是最高點）時資金加速買入，短期內獲利也最多，可見共振的原理無處不在。

另外共振吸收的原理應用到化學領域就是光譜分析，不同原子對不同頻率的光波吸收不一樣，產生原子吸收光譜，曾經幫助人類發現了很多新的物質，現在也用於測定物質的化學組成和含量。