該不該換：《決勝21點》

04-02

電影《決勝21點》中的一個片段。內容是這樣的：首先，台上有三個門，一個後邊有汽車，其餘兩個門後邊是山羊．主持人讓你任意選擇其中一扇門，如果所選這扇門後是汽車的話，將會獲得這輛汽車。假設顧客都希望得到車，選擇了一扇門，然後主持人打開其餘兩個門中的一個，然而看到的是山羊．這時，主持人問你是否要換到剩下的一扇門呢？

看完後，是否要換，為什麼呢？概率是多少？一般來說會有兩個答案 A,B ,如下：

A:「不換，因為此時這個門後是汽車和是山羊的概率是相同的，都是 $frac{1}{3}$ 」

B:「換的」

這個問題很具有迷惑性。不仔細思考都是說不換。
但是概率上正答案是答案是B,換的。
因為「雖然最後兩扇門後是汽車或羊的概率表面上一樣，但實際上有三扇門。所以當你選定第一扇門時，門後是汽車的概率是1/3，但當主持人問你是否要換到剩下的一扇門呢？會變成條件期望值，且換的話會是當初選擇的那個門機會的兩倍概率為2/3。

所以「一定要換！剩下的那個門後是汽車的概率更大」

原因在於「因為在三個門裡選擇一個的時候，選擇任何一個的機會都是，但是當電影中主持人告訴他這個門後邊沒有車，假設主持人不乎悠各位看官，只是他一旦有所動作就代表會有資訊產生，假設原本的你所選的事件為A，主持人發生的事件為B，我們換的機率其實就是在B事件發生下的選擇，則令為

$P(A|B)=frac{P(A)}{P(B)}=frac{frac{1}{3}}{frac{1}{2}}=frac{2}{3}$

所以說換的話，是當初選擇的那個門機會的兩倍．所以說改變原來的選擇會是原來機會的兩倍．不過原來那個門還是有的機會得到車的，如果改變選擇後發現其實車在原來的門後邊，那就只能怪自己運氣不太好咯，因為概率畢竟是大數法則下的產物，需要多玩試幾次。

這說明我們自以為正確的事情，可能就是錯誤的，人是多麼容易犯錯，而且犯了錯還很難改正。