2016年全國天文奧賽決賽試題解析

04-02

唉，終於有原題了，讓我來寫寫解析吧23333

低年級組四個一等獎有兩個是我的學生，好開心23333

選擇

4：1000顆8等星聚集在一起的星等最接近下列哪個數字？A -1.5 B 0.5 C 2.5 D 8000

這題主要是考查普森公式的應用。

$m_{mathrm{single}}=8^m=-2.5log E_{mathrm{single}}$

$m_{mathrm{cluster}}=-2.5log E_{mathrm{cluster}}=-2.5log1000 imes E_{mathrm{single}}=-2.5log E_{mathrm{single}}-2.5log 1000$

$herefore m_{mathrm{cluster}}=m_{mathrm{single}}-2.5log 1000=m_{mathrm{single}}-7.5=0^m.5$

我發現 $log 1000$ 還挺好算的~

6：上圖為一幅中國古代星圖的局部，下圖為當代星圖Uranometria 2000.0對應天區。則古代星圖最有可能的繪製年代為

A明萬曆-崇禎年間（1573-1644）

B清康熙年間（1662-1722）

C清嘉慶-道光年間（1796-1850）

D清同治光緒年間（1862-1908）

大家仔細看參宿二那顆星啊，他在古星圖中的赤經為80度，而在2000年星圖中是5小時36分，對應的是84度，中間這4度遠大於測量誤差，是怎麼來的呢？原來是一種叫歲差的東西在做怪。春分點每25800年在天上移動一圈360度，算出來能移動4度應該過了287年，所以是2000-287=1713年，選B。

9：天文學家用一台光學望遠鏡和一台射電望遠鏡同時觀測，已知射電望遠鏡的口徑為500m，有效波長為1mm，為達到同樣解析度，有效波長為550nm的光學望遠鏡的口徑應該為

A15.5cm B 27.5cm C 60cm D 130cm

本題考查對望遠鏡解析度公式的應用

$delta heta=1.22frac{lambda}{D}=1.22frac{lambda_{mathrm{r}}}{D_{mathrm{r}}}=1.22frac{lambda_{mathrm{v}}}{D_{mathrm{v}}}$

$herefore D_{mathrm{v}}=frac{lambda_{mathrm{v}}}{lambda_{mathrm{r}}} cdot D_{mathrm{r}}=27.5mathrm{cm}$

簡答題

14（低年級組）火星救援

宇航員馬克活特尼在執行太空任務時不幸困在火星基地。為了引起地球有關部門的注意，馬克在火星上搭建了反光板。為使有關部門察覺火星局部的視星等比火星整體減小了0.01等，請在不考慮大氣的情況下，假設火星軌道為正圓，計算從地球觀測反光板的最小角直徑。反光板反照率為 $eta=0.98cos heta$ ， $heta$ 為入射角。火星反照率為 $eta_M=0.15$

火星和反光板到地球的距離相等，所以亮度不同全部是由於反光率 $eta$ 和反光面積 $S$ 造成的。假設火星和反光板都為點光源，光垂直入射，火星半徑為 $R$ ，反光板半徑為 $k cdot R$ 。反光面積都為圓形。

$m-m_M=-0^m.01=-2.5log frac{E}{E_M}=-2.5log frac{Ecdot S}{E_Mcdot 0.5(S_M-S)}=-2.5log frac{eta_{max} pi (kR)^2}{eta_M(pi R^2-pi (kR)^2)}=-2.5log frac{0.98k^2}{ 0.15(1-k^2)}$

求得 $k=0.36$ ，看來這反光板大到不得不考慮球形曲面了啊。。所以只好把這個k看成是球冠狀反光板的投影面積，球冠對應的張角是 $sin alpha=k\ herefore alpha=0.368mathrm{rad}$

最後答案是 $R_{real}= R_Mcdot alpha=0.368 R_M$

看來馬克需要一個很大的板子了。。

哦題目讓求最小角直徑，那最小角直徑是火星角直徑的0.36倍。。

15：（低年級組和高年級組）金星勾陳一

假設在未來人類將金星的大氣進行了徹底改造，令其變得和地球一樣宜居。然後大規模移民金星。金星公轉軌道可視為圓軌道。

（1）請問金星北緯60度的觀測者能看到勾陳一么？解釋原因

（2）金星上的居民也想觀測到月亮剛好把太陽完全擋住的日全食。但是金星沒有天然衛星，於是就發身一個球型的人造衛星。希望這人造衛星公轉周期為30天，求衛星到金星表面高度和直徑。

試卷一開始給出了金星的黃赤交角為180度，也就是說金星上的南北完全是和黃道反著的！勾陳一的黃道坐標為黃經90度，黃緯66.5度。在金星北緯60度上看，黃道的可視範圍為北緯30度以南，所以看不到勾陳一= =

（2） $frac{GMm}{(R+h)^2}=mleft(frac{2pi}{T} ight)^2(R+h)$ ，查得金星質量M，金星半徑R，周期T=30天，可得高度h=374625km。

在金星上看太陽的角大小為 $heta=frac{2R_{odot}}{0.72mathrm{au}}=frac{2R_{mathrm{satellite}}}{h}$ ，大家注意卷子上居然沒有給太陽半徑！好吧從地球上看（1au）太陽是大概30角分，那麼在金星上（0.72au）看就得是30/0.72=41.67角分了，得衛星半徑是2270km。

本題有個坑，就是你得把勾陳一的坐標從地球赤道坐標（赤緯90度）換算成黃道坐標（黃經90度，黃緯66.5度），然後再把黃道坐標轉換成金星上的赤道坐標（赤經90度，赤緯-66.5度），才可以用恆顯圈恆隱圈的公式去算是否能看到勾陳一。

16：（低高年級組）LIGO

2015年9月14日9時50分45秒（UTC），位於美國路易斯安那州的LIGO探測器（A）最先探測到了由兩個黑洞纏繞合併為一個黑洞而產生的引力波信號，7毫秒後，位於華盛頓州的另一個LIGO探測器（B）也探測到了類似的信號，A與B有3000km

（1）引力波發源地相對於A和B的方位是什麼？畫出示意圖

（2）（僅高年級組）假設A和B探測信號的時間差為7加減0.1毫秒，請計算該引力波發源地可能所在天區的面積（以平方度為單位）

根據常識，引力波速度和光速相等，光從A傳到B，相距3000km，大概要用多久呢？當然是 $t^*=frac{s}{c}=frac{3000mathrm{km}}{3 imes 10^5mathrm{km/s}}=10mathrm{ms}$ ，很明顯大於 $7pm0.1mathrm{ms}$ ，為什麼呢？引力波能超光速？當然不能，這是常識。

所以大家要看下圖，引力波相對於AB連線是斜著入射的，因此只用7ms就足夠啦！

$S_{BC}=ccdot t=3 imes 10^5 mathrm{km/s} imes 7 imes 10^{-3}mathrm{s}=2100mathrm{km}$

$cos angle ABC=frac{S_{BC}}{S_{AB}}=frac{ccdot t}{S_{AB}}=0.7 herefore angle ABC=arccos frac{ccdot t}{S_{AB}}=45^circ .573$

第二問有一點點難度，看下圖

因為時間有一個不確定度 $mathrm{d} t=0.1mathrm{ms}$ ，所以我們算出來的角度 $angle ABC$ 也會有一個不確定度 $mathrm{d} angle ABC$ ，由上一問可知 $angle ABC=arccos frac{ccdot t}{S_{AB}}$ ，

所以 $mathrm{d} angle ABC=mathrm{d} arccos frac{ct}{S_{AB}}=left|-frac{1}{sqrt{1-left( frac{ct}{S_{AB}} ight)^2} }cdot mathrm{d}t ight|frac{c}{S_{AB}}=0.014mathrm{rad}$

這個小角度在空間中會形成一個圓環，圓環面積除以到觀測地的距離的平方就是立體角

$mathrm{d}Omega=frac{mathrm{d} S_{mathrm{cycle}}}{r^2}$

注意此時應該把角度的不確定度乘個2，才是圓環真實的寬度

$mathrm{d}Omega=frac{mathrm{d} S_{mathrm{cycle}}}{r^2}=2cdot frac{2pi r sin angle ABC cdot rcdot mathrm{d}angle ABC}{r^2}=4pi sin angle ABC cdot mathrm{d}angle ABC=0.1256$ 平方弧度

換成平方度為單位是412平方度啦。

數學強迫症表示還可以繼續化簡

$mathrm{d}Omega=4pi sin angle ABC cdot mathrm{d}angle ABC=4 pi mathrm{d} cos angle ABC=4pi frac{c}{S_{AB}}mathrm{d}t=0.1256$

所以學一點點導數是多麼有用啊！手動@那兩個學不會導數的一等獎得主。

然而我神奇地發現，黑洞在天上的範圍大小 $mathrm{d}Omega=4pi frac{c}{S_{AB}}mathrm{d}t$ 只和時間的不確定度有關，也就是說不管黑洞出現在哪個地方，它可能的範圍就是這麼大，只是方向不同，真是有意思。。

第18題我還在想，，我還有好幾個人都不知道怎麼考慮水星的橢圓軌道。。想明白了告訴大家。。

哦有人說《天文愛好者》上告訴我們那次水星凌日是在水星近日點附近。。要是這麼考常識就沒意思了，等我哪天寫一下怎麼算二體運動吧。。然後帶個筆記本電腦去考場上算。。我們天體力學的