板殼理論——Kirchhoff–Love Plate Theory （1）

04-01

前言：

今天寫有關板殼理論的第一節，有關各向同性薄板的小撓度彎曲的模型建立。也就是基於 $Kirchhoff$ 計算假定的應用彈性力學的薄板問題的建模。

特別地，這次會從真實結果出發，反推應用彈性力學的簡化建模是否合理。

一、從真實結果出發，深入解讀 $Kirchhoff$ 計算假定：

真實結果表明： $sigma_{x},sigma_{y}, au_{xy}, au_{xz}, au_{yz},sigma_{z}$ 這六個應力分量並不是一個量級， $sigma_{x},sigma_{y}, au_{xy}$ 是主要應力， $au_{xz}, au_{yz}$ 是次要應力， $sigma_{z}$ 是更加次要的應力。

因此，對於 $au_{xz}, au_{yz},sigma_{z}$ 所引起的一系列效應，我們可以忽略不計，但是 $au_{xz}, au_{yz},sigma_{z}$ 自身對平衡起著至關重要的作用，並不能忽略。

$Kirchhoff$ 計算假定，有一下三條：

（1） $varepsilon_z=0$ ，這相當於對物理方程進行替換。

替換原先的物理方程 $varepsilon_z=frac{1}{E}（sigma_{z}-mu（sigma_{x}+sigma_{y}））$ ，值得注意的是，對於真實情況， $varepsilon_z e0$ ，所以，真實情況時 $sigma_{z} emu（sigma_{x}+sigma_{y}）$ ，我們引入假定後，與原本構方程相矛盾，所以，直接刪除原本構方程。

但是，為什麼可以做這樣的假設呢？前面提到了，真實情況下， $sigma_{z}$ 是非常小的， $mu$ 也是不大的，故忽略了它們對 $z$ 方向的影響，假定 $varepsilon_z=0$ 。

（2） $gamma_{xz}=0，gamma_{yz}=0$ ，再加上第一條的 $varepsilon_z=0$ ，一起構成直法線假定。

這裡與上面的說法是相同的，由於 $au_{xz}, au_{yz}$ 本身是次要的應力，故，忽略它們對變形的影響。

這裡有一個非常關鍵的問題，由於這個假定，可以得到下面兩個方程：

$frac{partial u}{partial z}=-frac{partial w}{partial x}；frac{partial v}{partial z}=-frac{partial w}{partial y}$ ，即得到了 $u，v，w$ 三個位移之間的關係。

這是非常有用的，由以上，可以得到：

$u=-int_{}^{}frac{partial w}{partial x}dz+f_{1}（x，y）$ ，注意在偏積分中加待定函數，這樣，就聯繫其了三個位移分量之間的關係，如果彈性力學按照位移求解，未知量將從三個，減少到一個。

另外，由於 $au_{xz}, au_{yz}$ 本身不為零，而假定 $gamma_{xz}=0，gamma_{yz}=0$ 則，要拋棄另外兩個切應力與切應變的本構關係。

所以，由 $Kirchhoff$ 計算假定所最終得到的本構方程為：

$varepsilon_x=frac{1}{E}（sigma_{x}-musigma_{y}）；varepsilon_y=frac{1}{E}（sigma_{y}-musigma_{x}）$

$varepsilon_{xy}=frac{1}{G} au_{xy}$ ，這三個方程，即平面應力狀態下的本構方程。

（3）對於中面，不考慮水平位移，即 $u=0，v=0$ ，隨之而來的就是中面上所有變應變為零。

對於這一個假設，其實就對應這材料力學梁彎曲變形的「中性層」上的纖維既不伸長，也不縮短，只不過材料力學1D的樑上一定存在中性層。

重要總結：

（1）3D彈性問題的未知函數個數是15個，但15個未知函數之間有三大類方程作為關聯，如果採用以位移作為基本未知量求解，則未知數有3個，即三個位移分量。但 $Kirchhoff$ 計算假定將三個位移分量再一次聯繫起來，即，我們只需要求解 $w（x，y，z）$ 即， $z$ 方向的位移分量，即可求解全部未知量。這一舉動將15個未知函數簡化為1個未知函數的求解。

（2） $varepsilon_z=0，gamma_{xz}=0，gamma_{yz}=0$ 這三個方程，是去替換原先本構方程中相關的三個，而不是帶入其中。即，僅僅忽略了次要應力對變形的影響，但不忽略次要應力本身。

（3）關於直法線假定，其意思為，法線在變形過程中，並不伸縮，在變性後，仍為彈性曲面的法線，也是由於固體力學多採用隨體坐標系，即拉格朗日系的原因。

（4）基爾霍夫板的建模是基於彈性力學五大基本假設加上基爾霍夫假定而來的，就像材料力學中，梁的建模是基於材料力學的基本假定再外加關於梁的平截面假定而來的。

（5）重新反思材料力學裡梁結構的建模，就會發現，其實最開始在材料力學裡，是不考慮擠壓應力的，梁最主要的影響因素是彎矩，由 $x$ 方向的正應力引起，其次是剪力，由切應力引起。甚至在梁的撓曲方程中，連剪力都不考慮，得到了歐拉梁，之後再由鐵摩新科考慮剪力影響得到鐵摩新科梁，直到彈性力學裡，我們才用半逆解法得到 $z$ 方向上，梁的擠壓應力，其確實是次要因素，對比梁與板，由於有許多類似的假定，得到的結果也異曲同工，之後會有更多奇妙的相似。

（6）易混點為：對於同一點，在 $z$ 方向上，擁有統一的位移，即撓度 $w（x，y）$ ，另外， $varepsilon_z=0$ ，即 $z$ 方向沒有應變，表明 $z$ 方向上各個點確實擁有統一的撓度（無相對擠壓，僅有剛性平移）。但是， $z$ 方向上，應力並不是統一的，而是呈線性或其他形式分布的。