「廣義相對論的鑰匙：張量」專題之二

04-01

「張量」是稍微高級一點的數學概念，這一系列的專題文章會對「張量是什麼」儘力去解釋，但是閱讀需要一定的線代基礎。有興趣學習線代基礎的同學，可以參加我們的「線代基礎課程」（報名方法：關注微信公眾號：馬同學高等數學，公眾號ID：matongxue314，點擊菜單欄的「線代課程」）。

專題的過往文章：

馬同學：「廣義相對論的鑰匙：張量」專題之一?

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上一節說了，向量空間以及向量空間中的向量，都是張量，它們的特點是：

本身是幾何對象，與基無關
不同的基下，有不同的代數表達
並且，不同的代數表達之間有明確的轉換規則

我們來看看，向量空間以及向量空間中的向量的代數表達與轉換規則是怎麼進行的。

下面的代數比較多，看著煩的，看看圖也能明白大概的意思。

1 向量空間

比如說，向量空間 $mathbb {R}^2$ ，下面用一個有顏色的方框來表示：

$mathbb {R}^2$ 可以用不同的基來張成：

上圖中的左邊的基就是單位正交基，代數形式為：

$vec{e_1}=egin{pmatrix} 1 \ 0 end{pmatrix}quad vec{e_2}=egin{pmatrix} 0 \ 1 end{pmatrix}$

上圖中的右邊的基為：

$vec{e_1}=egin{pmatrix} 1 \ 1 end{pmatrix}quad vec{e_2}=egin{pmatrix} -1 \ 1 end{pmatrix}$

看看兩個基之間是如何轉換的。

1.1 $vec{e_ i}$ 到 $vec{e_ i}$

我們看看這個方向的轉換是如何完成的：

首先容易知道：

$vec{e_1}=egin{pmatrix} 1 \ 1 end{pmatrix}=1vec{e_1}+1vec{e_2}\ vec{e_2}=egin{pmatrix} -1 \ 1 end{pmatrix}=-1vec{e_1}+1vec{e_2}$

讓我們定義一個矩陣：

有了矩陣之後，就可以寫簡潔一點了：

因此，我們可以通過矩陣 $F$ （F表示forward，我們把這個方向視作向前轉換）來完成這個轉換：

1.2 $vec{e_ i}$ 到 $vec{e_ i}$

那麼反方向怎麼完成呢？可以知道（大家自己可以驗算一下）：

$vec{e_1}=0.5vec{e_1}-0.5vec{e_2}\ vec{e_2}=0.5vec{e_1}+0.5vec{e_2}$

同樣我們定義一個矩陣 $B$ （B表示backward，我們把這個方向視作向後轉換）：

$B=egin{pmatrix} 0.5 & 0.5 \ -0.5 & 0.5 end{pmatrix}$

因此：

額外說一句，比較容易驗算：

$FB=I$

其中， $I$ 是單位陣。

上式說明 $F,B$ 是互逆的，這點也比較容易理解，畢竟向前轉換和向後轉換是一個互逆的操作。

1.3 小結

綜上，兩個基的轉換如圖：

代數式如下：

$displaystyle egin{cases} vec{e_ j}=displaystyle sum _{i=1}^{2}F_{ij}vec{e_ i}\ vec{e_ j}=displaystyle sum _{i=1}^{2}B_{ij}vec{e_ i} end{cases}$

當然，上面這個代數式很容易推向 $mathbb {R}^ n$ ：

$egin{cases} vec{e_ j}=displaystyle sum _{i=1}^{n}F_{ij}vec{e_ i}\ vec{e_ j}=displaystyle sum _{i=1}^{n}B_{ij}vec{e_ i} end{cases}$

根據我們上一篇總結的，有：

$mathbb {R}^ n$ 是一個幾何對象，它與基無關
可以由基 $vec{e_ i}$ 或者 $vec{e_ i}$ 來表示
基之間可以藉由矩陣 $F,B$ 來相互轉換

那麼剛才寫過的代數式：

$egin{cases} vec{e_ j}=displaystyle sum _{i=1}^{n}F_{ij}vec{e_ i}\ vec{e_ j}=displaystyle sum _{i=1}^{n}B_{ij}vec{e_ i} end{cases}$

完整的表達了上述三點，也就是一種張量。

2 向量

我們來看另外一種張量，向量。

在剛才的兩個基下，同一個點有不同的坐標：

上圖中的左邊的點的坐標值為：

$displaystyle vec{v_{}}=egin{pmatrix} 0 \ 2 end{pmatrix}=0vec{e_1}+2vec{e_2}=sum _{i=1}^{2}v_ ivec{e_ i}$

其中， $v_ i$ 表示 $vec{v_{}}$ 的元素。

右邊的點的坐標值為：

$displaystyle vec{v}=egin{pmatrix} 1 \ 1 end{pmatrix}=1vec{e_1}+1vec{e_2}=sum _{i=1}^{2}v_ ivec{e_ i}$

其中， $v_ i$ 表示 $vec{v}$ 的元素。

根據之前得出的式子：

$egin{cases} vec{e_ j}=displaystyle sum _{i=1}^{n}F_{ij}vec{e_ i}\ vec{e_ j}=displaystyle sum _{i=1}^{n}B_{ij}vec{e_ i} end{cases}$

可以推出如下的轉換規則（可自行推算）：

$vec{v}=Bvec{v_{}}quad vec{v_{}}=Fvec{v}$

為了寫得和剛才的代數形式一致，把上式改為：

$egin{cases} v_ i=displaystyle sum _{j=1}^{2}B_{ij}v_ j\ v_ i=displaystyle sum _{j=1}^{2}F_{ij}v_ j\ end{cases}$

當然，這個式子也很容易推向 $mathbb {R}^ n$ 中的向量：

$egin{cases} v_ i=displaystyle sum _{j=1}^{n}B_{ij}v_ j\ v_ i=displaystyle sum _{j=1}^{n}F_{ij}v_ j\ end{cases}$

2.1 小結

剛才向量的轉換關係，圖示如下：

根據我們上一篇總結的，有：

向量是一個幾何對象，它與基無關
它的坐標值，在基 $vec{e_ i}$ 或者 $vec{e_ i}$ 中不同
不同的坐標值可以藉由矩陣 $F,B$ 來相互轉換

那麼，下述代數式，也就是描述向量的張量：

$egin{cases} v_ i=displaystyle sum _{j=1}^{n}B_{ij}v_ j\ v_ i=displaystyle sum _{j=1}^{n}F_{ij}v_ j\ end{cases}$

3 協變數、逆變數

不知道剛才大家注意沒有？基變換的時候與坐標轉換的時候有所不同：

兩者之間，相同變換方向， $F,B$ 矩陣卻是反的。

我們用一個更直觀的方式來展示這種相反的變化：

可以發現，當基變長的時候，坐標值卻在變小，兩者的變化方向是反的。

還有，基逆時針旋轉達到的效果：

與向量順時針旋轉達到的效果是相同的：

運動是相對的，兩者變化方向雖然相反，取得的結果卻是相同的。

以基變換為基準，與基變換方向一致的，我們稱為協變數（covariant），與其相反的稱為逆變數（contravariant）。

那麼，張量：

4 愛因斯坦標記法

剛才的求和公式真的看的眼花繚亂，還好愛因斯坦發明了一種標記法，愛因斯坦與友人半開玩笑地說：「這是數學史上的一大發現，若不信的話，可以試著返回那不使用這方法的古板日子。」

4.1 第一個約定

首先，愛因斯坦標記法區分了協變數和逆變數，下標表示協變數，上標表示逆變數：

這個也可以如下修改：

$displaystyle vec{v_{}}=sum _{i=1}^{2}v_ ivec{e_ i}implies vec{v_{}}=sum _{i=1}^{2}v^{color{red}i}vec{e_ i}$

兩相對比，看起來一目了然，知道坐標是逆變數，而基是協變數。

4.2 第二個約定

另外一個約定是，對於矩陣中的元素，比如說：

$F_{ij}$

把前面一個 $i$ 寫成上標，後面一個 $j$ 寫成下標，即：

$F_{ij} o F^ i_ j$

這麼寫的好處，咱們後面馬上就可以看到。

4.3 第三個約定

還有一個重要約定是，如果 $sum$ 中上標或者下標中，單獨一個變數出現兩次，就可以去除 $sum$ 符號，比如：

$displaystyle vec{v_{}}=sum _{i=1}^{2}v^{color{red}i}vec{e_{color{red}i}}$

可以看到， $i$ 在上標、下標中，共計出現兩次，那麼上式可以寫作：

$vec{v_{}}=v^{i}vec{e_{i}}$

這兩種寫法是等同的，後面這個寫法看起來更清爽，還有一個附加作用，就是可以把重複出現的上標、下標視作消去（只是視作，沒有真正發生）：

$equire {cancel}vec{v_{}}=v^{cancel {i}}vec{e_{cancel {i}}}$

這個用在下面代數式中更清晰：

$egin{cases} vec{e_ j}=displaystyle sum _{i=1}^{n}F^ i_ jvec{e_ i}\ vec{e_ j}=displaystyle sum _{i=1}^{n}B^ i_ jvec{e_ i} end{cases}$

首先，根據剛才的規則，把 $sum$ 去除：

$egin{cases} vec{e_ j}=F^ i_ jvec{e_ i}\ vec{e_ j}=B^ i_ jvec{e_ i} end{cases}$

然後，運用消除大法：

$equire {cancel} egin{cases} vec{e_ j}=F^cancel {i}_ jvec{e_cancel {i}}\ vec{e_ j}=B^cancel {i}_ jvec{e_cancel {i}} end{cases}$

等式右邊消除 $i$ 之後，在等式左邊就只剩下 $j$ 了；而且，剩下的 $j$ 還指明應該是上標還是下標。

是否這樣就更容易記住公式了。

5 總結

向量空間 $V$ 的基與向量的轉換關係如圖：

向量空間 $V$ 的基是協變數，用愛因斯坦標記法表示為：

$egin{cases} vec{e_ j}=F^ i_ jvec{e_ i}\ vec{e_ j}=B^ i_ jvec{e_ i} end{cases}$

向量空間中的向量是逆變數，用愛因斯坦標記法表示為：

$egin{cases} v^ i=B^ i_ jv^ j\ v^ i=F^ i_ jv^ j\ end{cases}$

張量可以由協變數和逆變數來表示。張量的類型可以表示為：

$(m,n)$

其中， $m$ 為逆變數的個數， $n$ 為協變數的個數。

那麼向量空間 $V$ 的基是協變數，可以表示為 $(0,1)$ 型張量，意思是，只由一個協變數構成。

同理可知，向量空間中的向量是 $(1,0)$ 型張量。