「廣義相對論的鑰匙：張量」專題之一

04-01

「張量」是稍微高級一點的數學概念，下面的文章會對「張量是什麼」儘力去解釋，但是閱讀需要一定的線代基礎。有興趣學習線代基礎的同學，可以參加我們的「線代基礎班」（報名方法：關注微信公眾號：馬同學高等數學，公眾號ID：matongxue314，點擊菜單欄的「線代課程」）。

「張量」還是蠻複雜的，所以這挖一個坑，開一個專題來講解。

根據維基百科的介紹，「張量」一詞最初由威廉·羅恩·哈密頓在1846年引入。對，就是那個發明四元數的哈密頓：

威廉·羅恩·哈密頓

1890年格雷戈里奧·里奇-庫爾巴斯托羅的《絕對微分幾何》、1900年列維-奇維塔的《絕對微分》進一步在數學上發展了「張量」的概念。

阿爾伯特·愛因斯坦

偉大的物理學家，愛因斯坦為了描述他的天才想法，惡補了黎曼幾何和張量分析，終於在這兩大數學工具的幫助下，創立了他最為得意的彎曲時空的物理理論：廣義相對論。至此張量在物理上大放光彩。如果想學習廣義相對論，張量肯定是需要學習的。

廣義相對論中最核心的思想就是質量會帶來時空彎曲，就好像保齡球滾過長絨地毯：

可以想像，時空彎曲中有大量的幾何關係，為了描述複雜的幾何關係，愛因斯坦引入了「張量」，比如著名的愛因斯坦場方程：

${displaystyle R_{mu u }-{ frac {1}{2}}R, g_{mu u }+Lambda g_{mu u }={frac{8pi G}{c^{4}}}T_{mu u }}$

上面式子中， $displaystyle R_{mu u },g_{mu u },T_{mu u }$ 就是各種的張量。

可以先有一個直觀印象，「張量」就是用來描述幾何的，這裡幾何指的是什麼？後面很快就會解釋。

1 關於張量的四種定義

「張量」在不同的運用場景下有不同的定義。

第一個定義，張量是多維數組，這個定義常見於各種人工智慧軟體。聽起來還好理解。

第二個定義，張量是某種幾何對象，不會隨著坐標系的改變而改變。

第三個定義，張量是向量和余向量（covector）通過張量積（tensor product）組合而成的。

第四個定義，張量是多重線性映射，即：

${displaystyle {egin{matrix} T: & underbrace{V^{*} imes dots imes V^{*}} & imes & underbrace{V imes dots imes V} & ightarrow mathbb {R} , \ & { ext {m}} & & { ext {n}} & & end{matrix}}}$

其中， $V$ 是矢量空間， $V^*$ 是對應的對偶空間。

好了，不鬧了，後面的文章會嘗試逐一解釋這四種定義，並且可以看到這四種定義是不斷認知升級的結果。

2 多維數組

從第一個定義：張量是多維數組開始。

現在機器學習很火，知名開源框架tensor-flow是這麼定義tensor（張量）的：

A tensor is a generalization of vectors and matrices to potentially higher dimensions

也就是說，張量（tensor）是多維數組，目的是把向量、矩陣推向更高的維度。

更具體點，也即是說：

把三維張量畫成一個立方體：

我們就可以進一步畫出更高維的張量：

從數據結構上來看，張量就是多維數組。

這個定義本身沒有錯，但是沒有真正反映張量的核心。

3 幾何對象

我們來看下第二個定義：張量是某種幾何對象，不會隨著坐標系的改變而改變。

3.1 二維平面

最簡單的幾何對象就是二維平面，在線性代數中稱為 $mathbb {R}^2$ （這是一個向量空間），下面用一個有顏色的方框來表示 $mathbb {R}^2$ ：

這個 $mathbb {R}^2$ 可以通過直角坐標系來描述（也就是單位正交基來張成）：

也可以由別的坐標系來描述（別的基來張成），當然 $mathbb {R}^2$ 本身不會因為基不同而發生改變：

上面的圖有幾點值得注意：

$mathbb {R}^2$ 是一個幾何對象，它與坐標系（基）無關
可以通過不同的坐標系（基）來描述（張成）
並且，不同的坐標系（基）之間有明確的轉換規則（這個我們後面再說）

那這樣一個幾何對象， $mathbb {R}^2$ 就可以用張量來描述。

3.2 二維平面中的向量

$mathbb {R}^2$ 中的向量，也是一個幾何對象：

當 $mathbb {R}^2$ 被某個基張成的時候，向量也獲得了坐標值：

如果基發生了變換，坐標值也會不斷的變化：

從而可以得到如下的結論：

向量是一個幾何對象，它與基無關
不同的基下，有不同的坐標值
並且，不同的坐標值之間有明確的轉換規則

所以，向量這個幾何對象也可以用張量來描述。

3.3 二維平面之間的線性映射

假設有如下線性映射：

$mathcal{L}:mathbb {R}^2 o mathbb {R}^2$

其實它也是一個幾何對象，可以圖示如下：

上圖表示左邊 $mathbb {R}^2$ 中的一點（一點也對應一個向量），通過 $mathcal{L}$ ，和右邊 $mathbb {R}^2$ 中的一點關聯了起來，這就是映射。

當用單位正交基來描述左右兩個 $mathbb {R}^2$ ，可以得到一個矩陣 $A$ 來表示此 $mathcal{L}$ ：

不同的基，會獲得不同的矩陣（也就是等價矩陣），比如說 $A$ ：

進而得到如下的結論：

線性映射 $mathcal{L}$ 是一個幾何對象，它與基無關
不同的基下，有不同的矩陣來代表 $mathcal{L}$
並且，不同的矩陣之間有明確的轉換規則

所以， $mathcal{L}$ 這個幾何對象也可以用張量來描述。

4 總結

可見，張量可以表達非常多的線性代數的研究對象。

借用線性代數中「張成」這個詞，或許「張量」這個名字的意思就是「可以張成很多線性代數研究對象的量」。

下一節，我們會仔細研究下，張量是怎麼去表示向量空間、矢量、線性映射的，以及不同基下的轉換規則是什麼。