（六）現代控制理論：快速構造李雅普諾夫函數

《現代控制理論》（劉豹版本）教材中給出了一種針對低階微分方程的李雅普諾夫函數構造方法即AP^T+PA=-I（詳情見教材），該種方法基於矩陣計算，計算過矩陣的同學應該非常清楚過程之噁心。關鍵是還很難理解教材中那個公式是啥原理。

本方法思路類似我的第一篇文章一種簡單粗暴的調製PID參數的方法，都是基於奇異函數配平的思想。

先說一下李雅普諾夫函數吧！李雅普諾夫函數是一個二次型函數V(x)，我們構造李雅普諾夫函數的目的，是為了使得他的導數V(X)<0，從而得出系統漸近穩定的結論。這裡可以把李雅普諾夫函數看成系統的能量函數，能量函數的導數小於0，說明系統的能量一直在衰減，那麼最終一定會趨於穩定呀！就像一個小孩子，活蹦亂跳的，如果他的體力不呈衰減趨勢，這熊孩子還怎麼安靜下來！

直接上題目！

令x2=dx1/dt，則系統的狀態空間表達式表示為

現代控制理論中通常用矩陣形式表示出來，我這裡為了方便看懂就不用啦！

可以看到，有兩個變數x1,x2，前面講到李雅普諾夫方程v(x1,x2)是一個二次型，那對於雙變數二次型，形式無非就是

而李雅普諾夫最終形式又是要求

所以，如題，對V(X)求導，

顯然,對比一下式2係數，2a-2b-c=0,2b-c=c聯立，然後隨便給b,c賦值，這裡賦值1，則a=1.5，則李雅普諾夫方程就求出來啦！而且絕對可以判穩，因為你是根據式2即李雅普諾夫的最終形態確立的係數！是不是相當的無腦呢！

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