作者：wxmang
來源：介紹數學是為了介紹思維方式
最近我寫了一些數學科普的帖子，目的是為了介紹兩種思維方式，而不是建議大家去學數學，千萬不要本末倒置。
數學會培養人兩種思維方式：同構映射和分析還原。
同構映射是指面對一個複雜問題或複雜系統，先把其本質結構抽象出來，映射到一個同構或同態的我們了解的結構上去，通過這個我們了解結構的性質和變化規律，反過來了解複雜問題或結構的性質和變化規律。這個思維方式是抽象代數，微分幾何和拓撲典型的方式，最早是伽羅華在研究一元N次方程代數解的過程中發現的，通過討論解結構同構的交換群的對稱性質，得到了5次以上方程不可能代數解這種超出常識和直覺的結論。其實現在這種思維方法已經非常普及，我們在處理政治，軍事，經濟問題時，經常採用同構映射方法，把問題化繁為簡，把複雜問題變成一個我們了解的結構上的問題。這個以前舉過很多例子，不再重複。
分析還原是數學分析的典型方法，簡單說就是分而治之，把一個複雜系統或複雜問題分解成一堆模塊，而這些被分解的模塊，往往是已經了解或者利用現有知識和技術容易搞清楚的，然後搞清楚這些模塊，再組合還原到原始系統或原始問題，根據研究模塊得到的判斷，來對整體問題或系統進行判斷。例如魏爾斯特拉斯定理：任意一個連續函數可以用多項式級數逼近就是這種思想，把連續函數展開成多項式（泰勒級數和傅利葉級數是其具體表達形式之一），通過研究容易得多的多項式性質（例如微分，積分，連續），然後通過收斂性判斷還原到原來函數性質。分而治之在國家管理、巨型項目管理和巨型企業管理中是常用方法，那就是任務分解，當然這個管理方法的核心是分解後的還原和分解後模塊處理過程的控制協調。
所以，數學提供的思維方式，簡單說就是映射+極限（所以搞清楚這兩個名詞的含義十分有價值），稍微複雜一點說就是化繁為簡+分而治之，最準確說就是同構映射+分析還原。
這套思維方法，能夠讓我們準確，迅速，簡單明了抓住問題重點，了解核心問題，聽懂別人云山霧罩後面的想法和本質（我曾經為某著名大人物的發言做過筆記，後來給他看，他驚嘆：我原來講的東西這麼深刻，這麼高屋建瓴。其實他在講的時候，估計自己都不知道自己在講什麼，就是漫山遍野的亂砍）。
有人會問，我為什麼要用數學來做介紹的載體？我想有兩個原因，第一個原因是數學可能是唯一一個老師一開課，就會說：本課程的基本目的就是為了培養你們什麼什麼思維方式的（如果是北大數學系和科大數學系畢業的老師，一定都會這麼說，因為這是他們的傳統。其他學校不了解）學科，其他學科估計都沒有這麼威武霸氣；第二個原因是數學有若干人類耀眼的天才留下的巨大思維財富，人類到目前為止，可能主要天才的大多數不是物理就是數學，數學的天才我們大多耳熟能詳，舉例來講，牛頓，萊布尼茨，高斯，歐拉，黎曼，拉格朗日，拉普拉斯，柯西，伽羅華，阿貝爾，康托，魏爾斯特拉斯，狄利赫里，龐加萊，希爾伯特，哥德爾，諾特，巴納赫，柯爾莫哥洛夫，馮諾依曼等等。
當然物理學的天才也是熠熠生輝的，例如牛頓，愛因斯坦，麥克斯韋，伽里略，海森堡，薛定鄂，狄拉克，普朗克，玻爾，洛侖茲，法拉第，楊振寧，費曼等等。
這裡稍微要說幾句楊振寧。楊振寧創立的規範場論，在現代物理學中地位非常重要，與量子力學和相對論可以相提並論，1994 年，美國富蘭克林學會頒發鮑爾獎給楊振寧時，對他的評價是極高的：「他提出了一個廣義的場論，這個理論綜合了有關自然界的物理規律，為我們對宇宙中基本的力提供了一種理解。作為20世紀觀念上的傑作，它解釋了原子內部粒子的相互作用，他的理論很大程度上重構了近40年來的物理學和現代幾何學」。
不管怎麼說，楊振寧的規範場論，已經排列在牛頓、麥克斯韋和愛因斯坦這一類偉大的工作之列。他是目前唯一還活著的人類最偉大的物理學家，沒有之一。有的人因為人家娶一個年輕老婆而唧唧歪歪，莫名其妙，這羨慕嫉妒恨也太誇張了。
當然，判斷一個學科是否偉大，不僅僅是看其誕生了多少天才，更需要看其發現或證明了多少超出直覺和常識的偉大定理，例如數學中，就有哥德爾不完全性定理（公理系統存在不可證偽，也不可證真的命題）；Brouwer 不動點定理（連續映射存在不動點x0=f(x0))；諾特定理（系統每一個對稱性對應一個物理守恆定律）；康托連續統的不可數性定理；科恩對ZF公理系統連續統假設的不可判定性定理；伽羅華定理（5次以上方程無根式解）；魏爾斯特拉斯連續函數逼近定理（包括泰勒定理和傅里葉級數收斂定理）；牛頓--萊布尼茲分微積分基本定理（積分是微分的逆運算）；中心極限定理（多因素干擾下的隨機系統收斂於正態分布）等等偉大定理。
當然不僅僅是數學有偉大定理，在經濟學中，也有一些超出人類直覺和常識的偉大定理，例如科斯定理（交易成本為零時，產權與效率無關）；阿羅均衡存在定理（供需一定有平衡點）；阿羅不可能定理（不存在絕對公平）；薩繆爾森大道定理（經濟增長一定存在最優路徑）；資源優化存在定理（凸約束下，非劣解一定存在）；網路分工優化存在定理（分工網路存在最優解）等等。
不過人類發現的超出常識和直覺最偉大的定理還是物理學的，例如牛頓力學方程，開啟了蒸汽機時代，引導了工業革命；麥克斯韋方程，開啟了電氣化時代，目前一切與電有關的行業，電子，電氣，電工，電力，電機等等都是他的結果；薛定諤方程，開啟了信息化時代，沒量子力學，就沒有現在的微電子，計算機；愛因斯坦方程，開啟了原子能時代等等。
當然，不僅僅數學在訓練人的思維方式，其他學科也在，只是不這麼理直氣壯而已。例如經濟學就強調實證（為類比提供對象）和歸納（類比）的思維方式，而管理學強調模擬建模（本質是搭建信息流，物流和資金流的邏輯結構和反饋通道，構建計劃、組織、指揮、控制和協調平台）和流程（本質是建立一直演算法，對數學來講，任何步驟，次序，流程都是演算法）。但是從思維培訓的效率來講，遠遠不如數學，一般情況下，一個具有成熟經濟學思維方式的人，至少需要20年時間才能形成，管理學也需要十年，而數學培養出熟悉化繁為簡+分而治之的思維方式，一般情況5年就能成功。
思維方式是人類知識的結構，沒有結構的知識，就是一堆散件，也就相當於散裝水泥，亂堆的磚頭，一團亂麻的鋼材和滿地的玻璃碎片。有結構的知識，可以成為一幢摩天大廈。 所以：知識不是力量，思維方式才是力量。成功不靠知識多少，而是靠運用知識的能力----你的思維方式是否強大。知識不能改變命運，改變命運靠你的知識組成的大廈的高度。 最後再強調一點，保持自己的好奇心和好學，是保證自己思維面對複雜問題或複雜系統時，還能象小刀切黃油一樣簡單明了的唯一方法。
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