什麼是阿羅不可能定理？

阿羅不可能定理是由1972年諾貝爾經濟學獎的獲得者之一阿羅首先陳述和證明的。

　　1951年肯尼斯·約瑟夫·阿羅（Kenneth J．Arrow)在他的《社會選擇與個人價值》一書中，採用數學的公理化方法對通行的投票選舉方式能否保證產生出合乎大多數人意願的領導者或者說「將每個個體表達的先後次序綜合成整個群體的偏好次序」進行了研究。結果，他得出了一個驚人的結論：絕大多數情況下是——不可能的！更準確的表達則是：當至少有三名候選人和兩位選民時，不存在滿足阿羅公理的選舉規則。或者也可以說是：隨著候選人和選民的增加，「程序民主」必將越來越遠離「實質民主」。

定理前提：假設有一個非常民主的群體，或者說是一個希望在民主基礎上作出自己的所有決策的社會，對它來說，群體中每一個成員的要求都是同等重要的。一般地，對於最應該做的事情，群體的每一個成員都有自己的偏好。為了決策，就要建立一個公正而一致的程序，能把個體的偏好結合起來，達成某種共識。這就要進一步假設群體中的每一個成員都能夠按自己的偏好對所需要的各種選擇進行排序，對所有這些排序的匯聚就是群體的排序。

內容：

　　①其定義域不受限制，即它適用於所有可能的個人偏好類型。

　　②非獨裁，即社會偏好不以一個人或者少數人的偏好所決定。

　　③帕累托原則，即如果所有人都偏好A勝於B，則社會也偏好A勝於B。

　　④無關變化的獨立性，這一要求可以簡單理解為：只要所有人對A和B的偏好不變(不管對例如A和C的偏好如何變化)，則社會對A和B的偏好不變。阿羅證明：滿足上述四個條件且具有傳遞性偏好次序的社會福利函數不存在。他指出，多數規則(majorityrule)的一個根本缺陷就是在實際決策中往往導致循環投票。[3]

　　阿羅的不可能定理源自孔多塞的「投票悖論」，早在十八世紀法國思想家孔多塞就提出了著名的「投票悖論」：假設甲乙丙三人，面對ABC三個備選方案，有如圖的偏好排序。

　　甲（a ＞ b ＞ c）

　　乙（b ＞ c ＞ a）

　　丙（c ＞ a ＞ b）

　　註：甲（a ＞ b ＞ c）代表——甲偏好a勝於b，又偏好b勝於c。

　　1.若取「a」、「b」對決，那麼按照偏好次序排列如下：

　　甲（a ＞ b ）

　　乙（b ＞ a ）

　　丙（a ＞ b ）

　　社會次序偏好為（a ＞ b ）

　　2.若取「b」、「c」對決，那麼按照偏好次序排列如下：

　　甲（b ＞ c ）

　　乙（b ＞ c ）

　　丙（c ＞ b ）

　　社會次序偏好為（b ＞ c ）

　　3.若取「a」、「c」對決，那麼按照偏好次序排列如下：

　　甲（a ＞ c ）

　　乙（c ＞ a ）

　　丙（c ＞ a ）

　　社會次序偏好為（c ＞ a ）

　　於是我們得到三個社會偏好次序——（a ＞ b ）、（b ＞ c ）、（c ＞ a ），其投票結果顯示「社會偏好」有如下事實：社會偏好a勝於b、偏好b勝於c、偏好c勝於a。顯而易見，這種所謂的「社會偏好次序」包含有內在的矛盾，即社會偏好a勝於c,而又認為a不如c！所以按照投票的大多數規則，不能得出合理的社會偏好次序。

　　阿羅不可能定理說明，依靠簡單多數的投票原則，要在各種個人偏好中選擇出一個共同一致的順序，是不可能的。這樣，一個合理的公共產品決定只能來自於一個可以勝任的公共權利機關，要想藉助於投票過程來達到協調一致的集體選擇結果，一般是不可能的。