06.大雜燴　線性方程組　逆矩陣　列空間　零空間　非方陣

本文內容雜而多：線性方程組，逆矩陣，列空間，零空間，非方陣．

1.矩陣的用途之一，解線性方程組

解方程組對應線性變換：

（１）當Ａ的行列式不為０

使用sympy解方程，和用numpy解線性代數結果相同，只是numpy求得的是小數而不是分數形式：

Ｎumpy根據求解:

即:

　from sympy import * x,y,z = symbols("x,y,z") print (solve([2*x + 5*y + 3*z+3,　4*x + 0*y + 8*z,1*x + 3*y + 0*z-2],[x,y,z])) #{x: 38/7, y: -8/7, z: -19/7} #{x: 5.428571428571429, y: -1.1428571428571428, z: -2.7142857142857144} #練習時用sympy，實戰用numpy import numpy as np A = np.matrix([[2,5,3],[4,0,8],[1,3,0]]) V = np.array([[-3],[0],[2]]) np.dot(A.I,V) # matrix([[ 5.42857143],[-1.14285714],[-2.71428571]]) # (a) .T －－ 返回自身的轉置 # (b) .H －－ 返回自身的共軛轉置 # (c) .I －－ 返回自身的逆矩陣 # (d) .A －－ 返回自身數據的2維數組的一個視圖（沒有做任何的拷貝）

（２）當Ａ的行列式為０

當矩陣Ａ的行列式為０時，矩陣的逆 無解，不可以通過 求解．

顯然，當處於這個面或線或點，才有解，可以通過簡單的解線性方程組求解．此時只能處於降一維的空間(如面->線甚至點，體->面甚至線甚至點)，無法通過線性變換復原．

2.什麼是列空間

列空間是指的所有可能結果的集合，也是的一組基向量的張成空間，零向量一定在任意列空間中．

3.什麼是秩Rank

秩描述整個空間經過線性變換後的（列空間，即可能的集合的）維數．

Ｒａｎｋ=1，表示變成直線．

Ｒａｎｋ=２，表示變成平面．

Ｒａｎｋ=３，表示變成立體．　

當秩最大時，稱為滿秩，秩和Ａ的列數相同．

4.什麼是零空間（Null space, Kernel）

經過線性變換後變為零向量的向量集合．

對於滿秩的情況下，零空間為零向量．

對於非滿秩的情況，行列式為０，變換矩陣列線性相關：

（１）例如立體到直線，那麼過原點某個平面上所有的向量構成零空間．

（２）例如立體到平面，那麼過原點的某一條直線上所有的向量構成零空間．

（３）例如平面到線，那麼過原點的某一條直線上所有的向量構成零空間．

零空間的意義，為如下方程 的解：

5.非方陣介紹

非方陣的線性變換可以跨維度進行．

例如下面是一個將２ｄ向量轉換為３ｄ向量的3*2（３行２列）矩陣：

儘管如此，轉換後的列空間依然只是一個固定的平面，秩為２，與列數相等，滿秩．所以只是由２Ｄ的面，描述為３Ｄ的面而已．

本文參考3Blue1Brown視頻教程<線性代數的本質>而寫，配上python代碼，並進行一些修訂．

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