2.3 四種重要的線性PDE (3)

03-31

開學第二周，專業課還不少，專欄更新會比較慢。今天主要簡單敘述一下本節的思路和框架。部分定理的證明過程真的太長了知乎公式編輯器又這麼雞肋以後慢慢填坑。。

四種重要的線性PDE之三——熱傳導方程（Heat equation）：

齊次 $u_t-Delta u=0quad (1)$ 和非齊次 $u_t-Delta u=fquad (2).$ 這裡 $t>0, xin U ext{(open)}subsetmathbb{R}^n,$ $u=u(x,t):overline{U} imes[0,+infty) ightarrowmathbb{R}$ 是未知函數， $Delta u=Delta_xu=sum_{i=1}^{n}u_{x_ix_i},$ $f:U imes[0,+infty) ightarrowmathbb{R}$ 是已知的。

基本解

基本解

和上節Laplace方程一樣的套路，先找特解。為此，設 $u(x,t)=frac{1}{t^{alpha}}vleft(frac{x}{t^{eta}} ight),$ 常數 $alpha,eta$ 以及函數 $v:mathbb{R}^n ightarrowmathbb{R}$ 是我們想要找出來的。記 $y=frac{x}{t^eta},$ 把該特解代入 $(1)$ 得到： $(3)quad alpha t^{-alpha-1}v(y)+yeta t^{-alpha-1}Dv(y)+t^{-alpha-2eta}Delta v(y)=0.$

為簡化運算，取 $eta=frac{1}{2}$ 並設存在 $w:mathbb{R} ightarrowmathbb{R}$ 使得 $v(y)=w(|y|).$ 於是 $(3)$ 成為 $(4)quad alpha w+frac{1}{2}rw+w+frac{n-1}{r}w=0,$ 這裡 $r=|y|,$ 式中求導運算是對 $r$ 做的。

再令 $alpha=frac{n}{2},$ 則 $(r^{n-1}w)+frac{1}{2}(r^nw)=0$ 即 $r^{n-1}w+frac{1}{2}r^nw=0.$ 從而 $w=ae^{-frac{r^2}{4}}.$

於是 $u(x,t)=frac{a}{t^{frac{n}{2}}}e^{-frac{|x|^2}{4t}}$ 是方程 $(1)$ 的解。

定義熱傳導方程的基本解 $egin{equation} Phi(x,t):= left{ egin{aligned} &frac{1}{(4pi t)^{frac{n}{2}}}e^{-frac{|x|^2}{4t}}&(xinmathbb{R}^n,t>0)\ &0&(xinmathbb{R}^n,t<0). end{aligned} ight. end{equation}$

易知 $int_{mathbb{R}^n}Phi(x,t) dx=1.$ $left(egin{equation} int_{mathbb{R^n}}Phi(x,t) dx=frac{1}{(4pi t)^{frac{n}{2}}}int_{mathbb{R^n}}e^{-frac{|x^2|}{4t}} dx=frac{1}{pi^{frac{n}{2}}}int_{mathbb{R^n}}e^{-|z|^2} dz=frac{1}{pi^{frac{n}{2}}}prod_{i=1}^{n}int_{-infty}^{+infty}e^{-|z_i|^2} dz_i=1. end{equation} ight)$

初值問題

$egin{equation} left{ egin{aligned} u_t-Delta u&=0quad ext{in} mathbb{R}^n imes(0,+infty)\ u&=gquad ext{on} mathbb{R}^n imes{t=0}. end{aligned} ight. end{equation}$

定理 1. （初值問題的解）設 $gin C(mathbb{R}^n)cap L^{infty}(mathbb{R}^n),$ $u(x,t)=int_{mathbb{R}^n}Phi(x-y,t)g(y) dy.$ 那麼： $(a) uin C^{infty}(mathbb{R}^n imes (0,+infty)),$ $(b) u_t(x,t)-Delta u(x,t)=0 (xinmathbb{R}^n,t>0),$ $(c) lim_{(x,t) ightarrow(x^0,0)\ xinmathbb{R}^n,t>0}u(x,t)=g(x^0) (forall x^0inmathbb{R^n}).$

證明：

$(a)$ 顯然 $Phi(x,t)$ 是無窮次可微的，且各階導數在 $mathbb{R}^n imes[delta,+infty)$ 上一致有界 $(delta>0),$ 所以 $uin C^{infty}(mathbb{R}^n imes (0,+infty)).$

$(b)$ $u_t(x,t)-Delta u(x,t)=int_{mathbb{R^n}}[(Phi_t-Delta_xPhi)(x-y,t)]g(y) dy=0.$

$(c)$ $forall epsilon>0,$ 取 $delta>0$ s.t $|g(y)-g(x^0)|<epsilon$ whenever $|y-x^0|<delta.$ 於是，若 $|x-x_0|<frac{delta}{2},$ $egin{aligned} |u(x,t)-g(x^0)|&=left|int_{mathbb{R^n}}Phi(x-y,t)[g(y)-g(x^0)] dy ight|\&leint_{B(x^0,delta)}Phi(x-y,t)|g(y)-g(x^0)| dy+int_{mathbb{R^n}-B(x^0,delta)}Phi(x-y,t)|g(y)-g(x^0)| dy\ & ightarrow0 ext{as} (x,t) ightarrow(x^0,0^+). end{aligned}$

(首先 $int_{B(x^0,delta)}Phi(x-y,t)|g(y)-g(x^0)| dyleepsilonint_{B(x^0,delta)}Phi(x-y,t) dy=epsilon,$

其次，由 $|y-x^0|le|y-x|+|x-x^0|le|y-x|+frac{1}{2}|y-x^0|$ 得 $|y-x|gefrac{1}{2}|y-x^0|.$ 從而 $egin{aligned} int_{mathbb{R^n}-B(x^0,delta)}Phi(x-y,t)|g(y)-g(x^0)| dy&le2|g|_{L^infty}int_{mathbb{R^n}-B(x^0,delta)}Phi(x-y,t) dy\ &lefrac{C}{t^{n/2}}int_{mathbb{R^n}-B(x^0,delta)}e^{-frac{|y-x^0|^2}{16t}} dy ightarrow0 ext{as} t ightarrow0^+. end{aligned}$ )

非齊次情形

$egin{equation} left{ egin{aligned} u_t-Delta u&=fquad ext{in} mathbb{R}^n imes(0,+infty)\ u&=0quad ext{on} mathbb{R}^n imes{t=0} end{aligned} ight. end{equation}$ 有一個類似的結論：

定理 2. （初值問題的解）設 $gin C(mathbb{R}^n)cap L^{infty}(mathbb{R}^n),$ $egin{aligned} u(x,t)&=int_{0}^{t}int_{mathbb{R}^n}Phi(x-y,t-s)f(y,s) dyds\ &=int_0^tfrac{1}{(4pi(t-s))^{frac{n}{2}}}int_{mathbb{R^n}}e^{-frac{|x-y|^2}{4(t-s)}}f(y,s) dyds. end{aligned}$ 那麼： $(a) uin C_1^2(mathbb{R}^n imes (0,+infty)),$ $(b) u_t(x,t)-Delta u(x,t)=f(x,t) (xinmathbb{R}^n,t>0),$ $(c) lim_{(x,t) ightarrow(x^0,0)\ xinmathbb{R}^n,t>0}u(x,t)=0 (forall x^0inmathbb{R^n}).$

中值公式

先約定幾個常用記號：

(1) 時間變數 $T>0,$ 拋物柱面 $U_T=U imes(0,T]= ext{the interior of} overline{U} imes[0,T],$ 其邊界 $Gamma_T=overline{U}_T-U_T.$

(2) 給定 $xinmathbb{R^n},$ $tinmathbb{R},$ $r>0,$ 定義 $E(x,t;r)=left{(y,s)inmathbb{R^{n+1}}| sle t,Phi(x-y,t-s)gefrac{1}{r^n} ight}.$

定理 3. （熱傳導方程的中值公式）設 $uin C_1^2(U_T)$ 是熱傳導方程的一個解，其中 $C_1^2(U_T)={u:U ightarrowmathbb{R} | u,D_xu,D^2_xu,u_tin C(U_T)},$ 那麼對每個 $E(x,t;r)subset U_T,$ 成立 $u(x,t)=frac{1}{4r^n}iint_{E(x,t;r)}u(y,s)frac{|x-y|^2}{(t-s)^2} dyds.$

熱傳導方程的解的性質

熱傳導方程解的性質主要有三條，與上節調和函數的性質是平行的。

強最大原理和唯一性

定理 4. （熱傳導方程的強最大原理）設 $uin C_1^2(U_T)cap C(ar{U}_T)$ 是熱傳導方程的解，那麼：(i) $max_{ar U_T}u=max_{Gamma_T}u.$ (ii) 進一步，若 $U$ 是連通集且存在 $(x_0,t_0)in U_T$ 使得 $u(x_0,t_0)=max_{ar U_T}u$ ，那麼 $U$ 在 $ar U_{t_0}$ 上是常值函數。

定理 5. （邊值問題解的唯一性）設 $gin C(Gamma_T),fin C(U_T).$ 那麼邊值問題 $egin{equation} left{ egin{aligned} u_t-Delta u=fquad& ext{in} U_T\ u=gquad& ext{on} Gamma_T end{aligned} ight. end{equation}$ 在 $C^2_1(U_T)cap C(ar{U}_T)$ 上至多存在一個解。

證明：假設有兩個不相同的解 $U$ 和 $ilde{u}$ 滿足條件，對 $w=pm(u- ilde u)$ 應用定理 4即證。

定理 6. （初值問題的最大值原理）設 $uin C^2_1(mathbb{R}^n imes(0,T])cap C(mathbb{R^n} imes[0,T])$ 是 $egin{equation} left{ egin{aligned} u_t-Delta u&=0quad ext{in} mathbb{R}^n imes(0,T)\ u&=gquad ext{on} mathbb{R}^n imes{t=0} end{aligned} ight. end{equation}$ 的解，並且滿足 $u(x,t)le Ae^{a|x|^2} (0le tle T,A,a>0 ext{constant}).$ 那麼 $sup_{mathbb{R^n} imes[0,T]}u=sup_{mathbb{R^n}}g.$

定理 7. （初值問題解的唯一性）設 $gin C(mathbb{R^n}),fin C(mathbb{R^n} imes[0,T]).$ 那麼初值問題 $egin{equation} left{ egin{aligned} u_t-Delta u&=0quad ext{in} mathbb{R}^n imes(0,T)\ u&=gquad ext{on} mathbb{R}^n imes{t=0} end{aligned} ight. end{equation}$ 在 $uin C^2_1(mathbb{R}^n imes(0,T])cap C(mathbb{R^n} imes[0,T])$ 上至多存在一個解，滿足 $|u(x,t)|le Ae^{a|x|^2} (0le tle T,A,a>0 ext{constant}).$

證明：假設有兩個不相同的解 $U$ 和 $ilde{u}$ 滿足條件，對 $w=pm(u- ilde u)$ 應用定理 6即證。

正則性

定理 8. 設 $uin C_1^2(U_T)$ 是熱傳導方程在 $U_T$ 上的一個解，則 $uin C^{infty}(U_T).$

局部估計

定理 9. 任意一對整數 $k,l=0,1,cdots,$ 存在一個常數 $C_{k,l}$ 使得對所有柱面 $C(x,t;frac{r}{2})subset C(x,t;r)subset U_T$ 以及熱方程在 $U_T$ 上的所有解 $u,$ 成立 $max_{C(x,t;frac{r}{2})}|D_x^kD_t^lu|lefrac{C_{k,l}}{r^{k+2l+n+2}}|u|_{L^1(C(x,t;r))}.$