2.3 四種重要的線性PDE (3)

開學第二周,專業課還不少,專欄更新會比較慢。今天主要簡單敘述一下本節的思路和框架。部分定理的證明過程真的太長了 知乎公式編輯器又這麼雞肋 以後慢慢填坑。。


四種重要的線性PDE之三——熱傳導方程(Heat equation)

齊次 u_t-Delta u=0quad (1) 和非齊次 u_t-Delta u=fquad (2). 這裡 t>0, xin U	ext{(open)}subsetmathbb{R}^n,u=u(x,t):overline{U}	imes[0,+infty)
ightarrowmathbb{R} 是未知函數,Delta u=Delta_xu=sum_{i=1}^{n}u_{x_ix_i}, f:U	imes[0,+infty)
ightarrowmathbb{R} 是已知的。

基本解

  • 基本解

和上節Laplace方程一樣的套路,先找特解。為此,設 u(x,t)=frac{1}{t^{alpha}}vleft(frac{x}{t^{eta}}
ight), 常數 alpha,eta 以及函數 v:mathbb{R}^n
ightarrowmathbb{R} 是我們想要找出來的。記 y=frac{x}{t^eta}, 把該特解代入 (1) 得到: (3)quad alpha t^{-alpha-1}v(y)+yeta t^{-alpha-1}Dv(y)+t^{-alpha-2eta}Delta v(y)=0.

為簡化運算,取 eta=frac{1}{2} 並設存在 w:mathbb{R}
ightarrowmathbb{R} 使得 v(y)=w(|y|). 於是 (3) 成為 (4)quad alpha w+frac{1}{2}rw+w+frac{n-1}{r}w=0, 這裡 r=|y|, 式中求導運算是對 r 做的。

再令 alpha=frac{n}{2},(r^{n-1}w)+frac{1}{2}(r^nw)=0r^{n-1}w+frac{1}{2}r^nw=0. 從而 w=ae^{-frac{r^2}{4}}.

於是 u(x,t)=frac{a}{t^{frac{n}{2}}}e^{-frac{|x|^2}{4t}} 是方程 (1) 的解。

定義熱傳導方程的基本解 egin{equation} Phi(x,t):= left{ egin{aligned} &frac{1}{(4pi t)^{frac{n}{2}}}e^{-frac{|x|^2}{4t}}&(xinmathbb{R}^n,t>0)\ &0&(xinmathbb{R}^n,t<0). end{aligned} 
ight. end{equation}

易知 int_{mathbb{R}^n}Phi(x,t) dx=1. left(egin{equation} int_{mathbb{R^n}}Phi(x,t) dx=frac{1}{(4pi t)^{frac{n}{2}}}int_{mathbb{R^n}}e^{-frac{|x^2|}{4t}} dx=frac{1}{pi^{frac{n}{2}}}int_{mathbb{R^n}}e^{-|z|^2} dz=frac{1}{pi^{frac{n}{2}}}prod_{i=1}^{n}int_{-infty}^{+infty}e^{-|z_i|^2} dz_i=1. end{equation}
ight)

  • 初值問題

egin{equation} left{ egin{aligned} u_t-Delta u&=0quad 	ext{in} mathbb{R}^n	imes(0,+infty)\ u&=gquad 	ext{on} mathbb{R}^n	imes{t=0}. end{aligned} 
ight. end{equation}

定理 1. (初值問題的解)設 gin C(mathbb{R}^n)cap L^{infty}(mathbb{R}^n), u(x,t)=int_{mathbb{R}^n}Phi(x-y,t)g(y) dy. 那麼:(a) uin C^{infty}(mathbb{R}^n	imes (0,+infty)), (b) u_t(x,t)-Delta u(x,t)=0  (xinmathbb{R}^n,t>0), (c) lim_{(x,t)
ightarrow(x^0,0)\ xinmathbb{R}^n,t>0}u(x,t)=g(x^0)  (forall x^0inmathbb{R^n}).

證明:

(a) 顯然 Phi(x,t) 是無窮次可微的,且各階導數在 mathbb{R}^n	imes[delta,+infty) 上一致有界 (delta>0), 所以 uin C^{infty}(mathbb{R}^n	imes (0,+infty)).

(b) u_t(x,t)-Delta u(x,t)=int_{mathbb{R^n}}[(Phi_t-Delta_xPhi)(x-y,t)]g(y) dy=0.

(c) forall epsilon>0,delta>0 s.t |g(y)-g(x^0)|<epsilon whenever |y-x^0|<delta. 於是,若 |x-x_0|<frac{delta}{2}, egin{aligned} |u(x,t)-g(x^0)|&=left|int_{mathbb{R^n}}Phi(x-y,t)[g(y)-g(x^0)] dy
ight|\&leint_{B(x^0,delta)}Phi(x-y,t)|g(y)-g(x^0)| dy+int_{mathbb{R^n}-B(x^0,delta)}Phi(x-y,t)|g(y)-g(x^0)| dy\ &
ightarrow0 	ext{as} (x,t)
ightarrow(x^0,0^+). end{aligned}

(首先 int_{B(x^0,delta)}Phi(x-y,t)|g(y)-g(x^0)| dyleepsilonint_{B(x^0,delta)}Phi(x-y,t) dy=epsilon,

其次,由 |y-x^0|le|y-x|+|x-x^0|le|y-x|+frac{1}{2}|y-x^0||y-x|gefrac{1}{2}|y-x^0|. 從而 egin{aligned} int_{mathbb{R^n}-B(x^0,delta)}Phi(x-y,t)|g(y)-g(x^0)| dy&le2|g|_{L^infty}int_{mathbb{R^n}-B(x^0,delta)}Phi(x-y,t) dy\ &lefrac{C}{t^{n/2}}int_{mathbb{R^n}-B(x^0,delta)}e^{-frac{|y-x^0|^2}{16t}} dy
ightarrow0 	ext{as} t
ightarrow0^+. end{aligned} )

  • 非齊次情形

egin{equation} left{ egin{aligned} u_t-Delta u&=fquad 	ext{in} mathbb{R}^n	imes(0,+infty)\ u&=0quad 	ext{on} mathbb{R}^n	imes{t=0} end{aligned} 
ight. end{equation} 有一個類似的結論:

定理 2. (初值問題的解)設 gin C(mathbb{R}^n)cap L^{infty}(mathbb{R}^n), egin{aligned} u(x,t)&=int_{0}^{t}int_{mathbb{R}^n}Phi(x-y,t-s)f(y,s) dyds\ &=int_0^tfrac{1}{(4pi(t-s))^{frac{n}{2}}}int_{mathbb{R^n}}e^{-frac{|x-y|^2}{4(t-s)}}f(y,s) dyds. end{aligned} 那麼:(a) uin C_1^2(mathbb{R}^n	imes (0,+infty)), (b) u_t(x,t)-Delta u(x,t)=f(x,t)  (xinmathbb{R}^n,t>0), (c) lim_{(x,t)
ightarrow(x^0,0)\ xinmathbb{R}^n,t>0}u(x,t)=0  (forall x^0inmathbb{R^n}).

中值公式

先約定幾個常用記號:

(1) 時間變數 T>0, 拋物柱面 U_T=U	imes(0,T]=	ext{the interior of} overline{U}	imes[0,T], 其邊界 Gamma_T=overline{U}_T-U_T.

(2) 給定 xinmathbb{R^n}, tinmathbb{R}, r>0, 定義 E(x,t;r)=left{(y,s)inmathbb{R^{n+1}}| sle t,Phi(x-y,t-s)gefrac{1}{r^n}
ight}.

定理 3. (熱傳導方程的中值公式)設 uin C_1^2(U_T) 是熱傳導方程的一個解,其中 C_1^2(U_T)={u:U
ightarrowmathbb{R} | u,D_xu,D^2_xu,u_tin C(U_T)}, 那麼對每個 E(x,t;r)subset U_T, 成立 u(x,t)=frac{1}{4r^n}iint_{E(x,t;r)}u(y,s)frac{|x-y|^2}{(t-s)^2} dyds.

熱傳導方程的解的性質

熱傳導方程解的性質主要有三條,與上節調和函數的性質是平行的。

  • 強最大原理和唯一性

定理 4. (熱傳導方程的強最大原理)設 uin C_1^2(U_T)cap C(ar{U}_T) 是熱傳導方程的解,那麼:(i) max_{ar U_T}u=max_{Gamma_T}u. (ii) 進一步,若 U 是連通集且存在 (x_0,t_0)in U_T 使得 u(x_0,t_0)=max_{ar U_T}u ,那麼 Uar U_{t_0} 上是常值函數。

定理 5. (邊值問題解的唯一性)設 gin C(Gamma_T),fin C(U_T). 那麼邊值問題 egin{equation} left{ egin{aligned} u_t-Delta u=fquad&	ext{in} U_T\ u=gquad&	ext{on} Gamma_T end{aligned} 
ight. end{equation}C^2_1(U_T)cap C(ar{U}_T) 上至多存在一個解。

證明:假設有兩個不相同的解 U	ilde{u} 滿足條件,對 w=pm(u-	ilde u) 應用定理 4即證。

定理 6. (初值問題的最大值原理)設 uin C^2_1(mathbb{R}^n	imes(0,T])cap C(mathbb{R^n}	imes[0,T])egin{equation} left{ egin{aligned} u_t-Delta u&=0quad 	ext{in} mathbb{R}^n	imes(0,T)\ u&=gquad 	ext{on} mathbb{R}^n	imes{t=0} end{aligned} 
ight. end{equation} 的解,並且滿足 u(x,t)le Ae^{a|x|^2} (0le tle T,A,a>0 	ext{constant}). 那麼 sup_{mathbb{R^n}	imes[0,T]}u=sup_{mathbb{R^n}}g.

定理 7. (初值問題解的唯一性)設 gin C(mathbb{R^n}),fin C(mathbb{R^n}	imes[0,T]). 那麼初值問題 egin{equation} left{ egin{aligned} u_t-Delta u&=0quad 	ext{in} mathbb{R}^n	imes(0,T)\ u&=gquad 	ext{on} mathbb{R}^n	imes{t=0} end{aligned} 
ight. end{equation}uin C^2_1(mathbb{R}^n	imes(0,T])cap C(mathbb{R^n}	imes[0,T]) 上至多存在一個解,滿足 |u(x,t)|le Ae^{a|x|^2} (0le tle T,A,a>0 	ext{constant}).

證明:假設有兩個不相同的解 U	ilde{u} 滿足條件,對 w=pm(u-	ilde u) 應用定理 6即證。

  • 正則性

定理 8. uin C_1^2(U_T) 是熱傳導方程在 U_T 上的一個解,則 uin C^{infty}(U_T).

  • 局部估計

定理 9. 任意一對整數 k,l=0,1,cdots, 存在一個常數 C_{k,l} 使得對所有柱面 C(x,t;frac{r}{2})subset C(x,t;r)subset U_T 以及熱方程在 U_T 上的所有解 u, 成立 max_{C(x,t;frac{r}{2})}|D_x^kD_t^lu|lefrac{C_{k,l}}{r^{k+2l+n+2}}|u|_{L^1(C(x,t;r))}.


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