【轉載】世界第一數學強校的背後

　　縱觀整個20世紀的數學史，蘇俄數學無疑是一支令人矚目的力量。百年來，蘇俄湧現了上百位世界一流的數學家，其中如魯金（Н. Н. Лузин），亞歷山德羅夫（П. С. Александров），柯爾莫果洛夫（А. Н . Колмогоров），蓋爾范德（И. М. Гельфанд），沙法列維奇（И. Р. Шафаревич），阿諾爾德（В. И. Арнольд）等都是響噹噹的數學大師。而這些優秀數學家則大多畢業於莫斯科大學（Московский государственный университет имени М．В.Ломоносова）。

　　莫斯科大學所湧現的優秀數學家其數量之多，質量之高，恐怕除了19世紀末20世紀初的哥廷根大學，在20世紀就再也沒有那個大學敢與之相比了，即使是赫赫有名的普林斯頓大學也沒有出過這麼多的優秀數學家。所以莫斯科大學是當之無愧的世界第一數學強校。對於莫斯科大學，我們是既熟悉又陌生，說熟悉是因為，中國大學的數學系都多少受了莫斯科大學的影響。我們曾經長期學習莫斯科大學的數學教材，做莫斯科大學的數學習題集，直到現在許多數學專業的學生還在做各種莫斯科大學編寫的習題集。如在下我，就曾經做過吉米多維奇的《數學分析習題集》（Б. П. Демидович《Сборник задач и упражнений по математическому анализу》）、巴赫瓦洛夫的《解析幾何習題集》（С.В. Бахвалов《Сборник задач по аналитической геометрии》）、普羅斯庫列科夫的《線性代數習題集》（И. В. Проскурярков《Сборник задач по линейнойалгебре》）、法傑耶夫的《高等代數習題集》（Д. К. Фаддеев《Сборник задач повысшей алгебре》）、菲力波夫的《常微分方程習題集》（А. Ф. Филиппов《Сборник задач по дифференциальныму уравнениям》）、沃爾維科斯基的《複變函數習題集》（Л. И. Волковыский《Сборник задач по теории функций комплексного переменного》）、符拉基米羅夫的《數學物理方程習題集》（В. С. Владимиров《Сборник задач по уравнениям математической физики》）、費堅科的《微分幾何習題集》（А. С. Феденко)《Сборник задач по дифференциальной геометрии》）、克里洛夫的《泛函分析——理論?習題?解答》（А. А. Кириллова《Теоремы и задачи функционального анализ》）、捷利亞科夫的《實變函數習題集》（С.А.Теляковский《Сборник задач по теориифункций действительного переменного》）。

　　說陌生，是因為莫斯科大學有很多方面和中國大學大相徑庭。那麼莫斯科大學成為世界數學第一強校奧秘何在？我很幸運家裡有親戚，曾於80年代公派到莫斯科大學數學力學部讀副博士（кандидат）（相當於美國的博士），又有熟人正在莫斯科大學數學力學系讀副博士。從中了解到莫斯科大學數學學科的具體情況，特地把這些都發在BBS上，讓大家看看，世界一流的數學家是如何一個一個的從莫斯科大學走出的。

　　鄧小平有句話說「足球要從娃娃抓起」，莫斯科大學則是數學要從娃娃抓起。每年暑假，俄羅斯各個大學的數學力學系和計算數學系【註：俄羅斯的大學沒有我們這樣的數學學院——如莫斯科大學，有18個系和2個學院。和數學有關的是數學力學系（Mеханико-математический факультет）和計算數學與自動控制系（Факультет вычислительной математики икибернетики）。數學力學系下設數學部（Отделение математики）和力學部（Отделение механики），其中的力學部和我國的力學系大不相同，倒接近於應用數學系。計算數學與控制論系（Факультет вычислительной математики и кибернетики）包括計算數學部和控制論部2個部：計算數學部和我國的信息與計算科學專業相當，控制論部接近於我國的自動化系，但是數學學的很多。前二年數學力學系及計算數學與控制論系一起上課，第三年數學力學系和計算數學與控制論系一起學計算數學方面的課程，到大四大五才單獨上專業課。】都要舉辦數學夏令營（Летний математический лагерь），凡是喜歡數學的中小學生都可以報名參加，完全是自願的。由各個大學的數學教授給學生講課做數學方面的講座和報告。莫斯科大學的數學夏令營是最受歡迎的，每年報名的人都是人滿為患，大家都希望能一睹數學大師們的風采，聽數學大師講課，做報告。特別是蘇聯著名的數學家柯爾莫果洛夫（А. Н. Колмогоров）和維洛格拉托夫（И. М. Виноградов），吉洪洛夫（А. Н. Тихонов）【蘇聯有了微型電子計算機後，吉洪洛夫（А. Н. Тихонов）經常在夏令營里教人玩計算機】幾乎每年都參加夏令營的活動。數學夏令營和我國的奧數班不同，他的目的不是讓學生參加什麼競賽，拿什麼獎，而是培養學生對數學的興趣，發現有數學天賦的學生，使他們能通過和數學家的接觸，讓他們了解數學，並最終走上數學家的道路。

　　在柯爾莫果洛夫（А. Н. Колмогоров）的提議下，從70年代開始，蘇聯的各個名牌大學大多舉辦了科學中學，從夏令營中發現的有科學方面天賦的學生都能報名進入科學中學，由大學教授直接授課，他們畢業後都能進入各個名牌大學。其中最著名的當屬莫斯科大學的柯爾莫果洛夫（А. Н. Колмогоров）科學中學（Школа Колмогорова- специализированный учебно-научный ценр МГУ имени М. В. Ломоносова）。這所學校從全國招收有數學、物理方面天賦的學生，完全免費【對家境貧寒的學生還發給補助】，儘管莫斯科大學現在經濟上困難重重，但這點直到現在都沒變。事實上科學中學的學生成才率相當高，這點是有目共睹的。到80年代末，90年代初，已經有幾個當年的柯爾莫果洛夫科學中學的學生成了科學院院士。

　　中國的大學，近年來常爆出招生中走後門的醜聞。其實以前就有成績不好的高幹子弟居然能進名牌大學的事情，像五、六十年代的北京大學、清華大學、中國科技大學都有這樣的學生。南京大學當年被院系調整搞得亂七八糟，從當家老大變成二流重點大學。現在，大概沒哪個中央領導的子弟看的上，估計這樣的學生是沒有的。反觀莫大，那可是非硬功夫進不去的，就算你是蘇共總書記的兒子也一樣！莫大敢如此硬氣，其實是其前校長彼得羅夫斯基（И. Г. Петровский）（我們對這位大數學家不會陌生吧！）利用擔任最高蘇維埃主席團成員（член Президиума Верховного Совета СССР）以及和蘇共的各個高級官員的良好關係爭來的尚方寶劍有關。蘇聯有明確規定，包括莫大在內的幾個名牌大學招生只認水平不認人【其它大學，高級官員的子女同等條件優先】，必須是擇優錄取。莫大的生源好，和蘇聯的整體基礎教育水平高也有關。蘇聯有一點值得中國學習，蘇聯的中小學的教學大綱和教材都是請一些有水平的科學家編寫的，像數學就是柯爾莫果洛夫（А. Н. Колмогоров）、吉洪洛夫（А. Н. Тихонов）和龐特里亞金（Л. С. Понтрягин）寫的，而且蘇聯已經把微積分、線性代數、歐氏空間解析幾何放到中學教了。大學的數學分析、代數、幾何就可以在更高的觀點上看問題了（其實和美國的高等微積分、初等微積分的方法相似）。

　　有一流的生源，不一定能培養出一流的數學家，還必須要有嚴謹的學風。莫大的規定相當的嚴格：必修課，一門不及格【不過政治和體育除外，政治是因為學校在這方面睜一隻眼閉一隻眼，純粹是給上面看的】留級，兩門不及格開除——而且考試紀律很嚴，作弊簡直是比登天還難！莫大的考試方法非常特殊，完全用口試的方式。主課如數學分析或者現代幾何學、物理學、理論力學之類，一個學期要考好幾次【像數學分析，要考7-8次】。考試一般的方法如下：考場里有2-3個考官考一個學生。第一個學生考試以前，第二個學生先抽籤【簽上就是考題】。考試時間一般是30-45分鐘；第一個考試的時候，第二個在旁邊準備，其他人在門外等候。考生要當場分析問題給考官聽後，再做解答。據稱難度遠大於筆試，感覺像論文答辯。不過莫大有一點是挺自由的，就是轉專業，這一般都能成功，像柯爾莫果洛夫（А. Н. Колмогоров）就是從歷史系轉到數學力學系，這是盡人皆知的。

　　中國的數學專業往往是老師滿堂灌，學生下面聽；最糟糕的是有的老師基本是照本宣科，整個一讀書機器。莫大的老師上課，基本不按教學大綱講課【其實教學大綱也說教師在滿足大綱的基本要求的情況下，應當按自己的理解講課】，也沒有什麼固定的教材；教師往往同時指定好幾本書為教材——其實就是沒有教材，只有參考書！而且莫大的課程都有相應的討論課，每門課的討論和講課的比例至少是1：1，像外語課就完全是討論課了！討論課一般是一個助教帶上一組學生，組織討論班，像一些基礎課的討論班比如大一、大二的數學分析、解析幾何、線性代數與幾何【其實講的是微分幾何和射影幾何】、代數學、微分方程、複分析、大三的微分幾何與拓撲、大四的現代幾何學【整體微分幾何】都是以討論習題和講課內容為主。為了讓學生多做題，做好題，教師要準備有足夠的高質量的習題資料，像前面說的各種各樣的習題集，就是把其中的一部分題目拿出來出版發行【事實上在打基礎的階段不多練習是不行的】。總的來說，討論課的數量大於講授，如1987年大綱，大一第一學期，每周講課是13節，討論是24節【不算選修課】。而且莫大有個好傳統就是基礎課都是由名教授甚至院士來講，柯爾莫果洛夫（А. Н. Колмогоров）、辛欽（А. Я. Хинчин）都曾經給大一學生上過數學分析這樣的基礎課，現在的莫大校長薩多夫尼奇（В. А. Садовн

ичий），目前也在給大一學生講數學分析【不過校長事情太多，不太可能一個人把課給上下來】。

　　想培養一流數學家，就一定要重視科研訓練，包括參加各種學術討論班和寫論文，莫大

的學生如果在入學以前參加過數學夏令營，那他在入學以前已經有一定的科研訓練，因為在夏令營就要組織寫小論文。入學以後，學校也鼓勵學生寫論文，到大三下學期學生要參加至少一個學術討論班，以決定大四大五是參加哪個教研組【莫大數學部有17個教研室，如數學分析教研室（Кафедра математического анализа），函數論與泛函分析教研室（Кафедра теории функций и функционального анализа），高等代數教研室（Кафедра высшей алгебры），高等幾何與拓撲學教研室（Кафедра высшей геометрии и топологии），微分幾何及其應用教研室（Кафедра дифференциальной геометрии и её приложений），一般拓撲與幾何學教研室（Кафедра общей топологии и геометрии），離散數學教研室（Кафедра дискретной математики），微分方程教研室（Кафедра дифференциальных уравнений），計算數學教研室（Кафедра вычислительной математики），數理邏輯與演算法論教研室（Кафедра математической логики и теории алгоритмов），概率論教研室（Кафедра теории вероятностей），數理統計與隨機過程教研室（Кафедра математическойстатистики и случайных процессов），一般控制問題教研室（Кафедра общих проблем управления），數論教研室（Кафедра теории чисел），智能系統數學理論教研室（Кафедра математической теории интеллектуальных систем），動力系統理論教研室（Кафедра теории динамических систем），數學與力學史教研室（Кабинет и стории математики и механики），初等數學教學法教研室（Кабинет методики преподавания элементарной математики）等】。每個教研室下設教研組【教研組即是科研單位又是教學單位】的活動。莫大數學系，到了大四大五，學生每學期要參加一個學術討論班（семинар）目的是寫論文，莫大要求本科畢業生至少要有3篇論文，其中2篇是學年論文，一篇作為畢業論文，畢業論文要提前半年發表在專門發畢業論文的雜誌上，半年內無人提出異議方可進行論文答辯，而且參加答辯的人是從全國隨機抽取的。答辯時還要考察一下學生的專業知識，這種答辯又稱為國家考試。

　　對於本科生，需要讓他們對數學和相鄰學科有個全面的了解，莫大在這點做的很不錯，數學系的學生不僅要學習現代幾何學、高等代數【內容大概包括交換代數和李群李代數】等現代數學，也要學習理論力學、連續介質力學、物理學中的數學方法【大概相當於我國物理專業的電動力學，熱力學與統計物理，量子力學】等課程；而且還有一些各種各樣的選修課供學生選擇。必修課中的專業課里不僅有純數學課程，還有變分法與最優控制這樣的應用數學課程，所以莫大的學生在應用數學方面尤其出色。

　　要成為一個合格的數學家，光短短5年的本科是遠遠不夠，還要經過3-4年的副博士階段的學習和無固定期限的博士研究。應該說莫大的研究生院在數學方面絕對是天下第一的研究生院，莫大研究生院在數學方面有門類齊全的各種討論班，討論班的組織者都是世界聞名的數學家；參加討論班的不僅有莫大的學者，還有來自全蘇各個科研機構的學者。經過5年的必修課、專業課及選修課的學習，凡是到莫大研究生院來的學生都有很紮實的專業知識，所以莫大的研究生是不上課的，一來就是上討論班，進行科學研究。同樣研究生想畢業也要拿出畢業論文和學年論文，畢業論文要拿到雜誌上發表半年以後，有15名來自不同單位的博士簽名，才能參加答辯。答辯的規矩比本科生更嚴格，只有通過畢業答辯和學年論文的答辯才能拿到數學科學副博士學位。至於數學科學博士（доктор математических наук），則是給有一定成就的科學家的學位，要拿博士至少要有一本合格的專著才行！

　　如果誰拿到莫大的數學科學博士的學位，那他/她就可以到大多數世界一流大學混個教授【包括助理教授】當！但是這個過程是十分難完成的——俄羅斯有種說法，說院士為什麼比一般人長壽，是因為院士居然可以完成從本科到博士這樣折磨人的過程，所以身體一定好的很！

　　說到莫斯科大學的數學，有一個人是不能不提的——那就是數學大師柯爾莫果洛夫（А. Н. Колмогоров）。應該說柯爾莫果洛夫（А. Н. Колмогоров）不但是數學家，而且是教育家——但是這並不是我在這裡要專門介紹他的原因……

　　我專門介紹他是基於以下幾個原因：1．如果說使莫斯科大學的數學躋身於世界一流是在魯金（Н. Н. Лузин）和彼得羅夫斯基（И. Г. Петровский）的帶領之下，那麼使莫斯科大學真正成為世界第一數學強校則是在柯爾莫果洛夫（А. Н. Колмогоров）擔任數學力學部主任的時期。2．柯爾莫果洛夫（А. Н. Колмогоров）是莫斯科數學學派（Московский математический школа）中承前啟後的一代中的領軍人物，特別是如蓋爾范德（И. М. Гельфанд），阿諾爾德（В. И. Арнольд）等著名數學家都是他的學生。3．柯爾莫果洛夫（А. Н. Колмогоров）雖然沒當過莫大校長，但是彼得羅夫斯基（И. Г. Петровский）去世後，他在莫大基本上就是太上校長，莫大的一些改革措施都和他多少有些關係。

　　對於作為數學家的柯爾莫果洛夫（А. Н. Колмогоров），大家一定很熟悉；但是對於扮演教育家角色的柯爾莫果洛夫（А. Н. Колмогоров），大家就未必清楚了。下面是我從沃爾夫獎得主，日本著名數學家伊藤清（Itō Kiyoshi）寫的一篇紀念柯爾莫果洛夫（А. Н. Колмогоров）的文章中摘抄下來的：

　　『柯爾莫果洛夫（А. Н. Колмогоров）認為：數學需要特別的才能的這種觀念在多數情況下是被誇大了；學生覺的數學特別難，問題多半出在教師身上【當然，學生的確對數學的適應性存在差異，這種適應性表現在：

　　1．演算法能力，也就是對複雜式子作高明的變形，以解決標準方法解決不了的問題的能力。

　　2．幾何直觀的能力，對於抽象的東西能把它在頭腦里像圖畫一樣表達出來，並進行思考的能力。

　　3．一步一步進行邏輯推理的能力。

　　但是柯爾莫果洛夫（А. Н. Колмогоров）也指出，僅有這些能力，而不對研究的題目有持久的興趣，不做持久的努力，也是無用的。】。

　　柯爾莫果洛夫（А. Н. Колмогоров）認為，在大學裡好的教師要做到以下幾點：

　　1．講課高明，特別是能用其他科學領域的例子來吸引學生，增進理解，培養理論聯繫實際的能力。

　　2．以清楚的解釋和廣博的知識來吸引學生運動。

　　3．善於因材施教。

　　柯爾莫果洛夫（А. Н. Колмогоров）以為以上三條都是有價值的，特別是3，這是一個好教師必須做到的。

　　那麼對於數學力學系或計算數學與控制論系的學生又應當怎樣做呢？柯爾莫果洛夫（А. Н. Колмогоров）以為除了通常的要求外，有兩點要特彆強調：

　　1．要把泛函分析這樣的重要學科【他說的重要學科恐怕還包括拓撲學和抽象代數】當成日常工具一樣應用自如。

　　2．要重視實際問題。

　　柯爾莫果洛夫（А. Н. Колмогоров）認為：學生剛開始搞研究時，首先必須讓學生樹立」我能夠搞出東西」的自信心，所以教師在幫助學生選課題時，不能光考慮問題的重要性，關鍵是要看問題是否在學生的能力範圍之內，而且需要學生做出最大的努力才能解決問題。 』

　　其實科研訓練應當是越早越好，在學生做習題的時候就要注意進行科研訓練了！這也是莫大數學成功的秘訣之一。莫斯科大學討論課上的習題根本沒有我們常見的套公式，套定理的題目。比如，我的那個親戚，在莫大讀書時擔任數學分析課的助教【莫大學數學的學生畢業後大多數是到各個大學擔任教師，所以莫大很重視學生的教學能力；一般，研究生都要作助教，本科生畢業前要進行大學數學的教學實習】，據他說，主講教授每次布置的討論課題目簡直稀奇古怪，比如說有一次，是叫他讓學生利用隱函數定理證明拓撲學中的Morse引理，還有一次，叫他給出有界變差函數的定義，然後證明什麼全變差的可加性等等，一直到雅可比分解，基本上把我們國家的實變函數課中的有關問題都幹掉了！總之他們經常叫學生證明一些後續課程中的定理，據他們認為，這樣做基本等於叫學生做小論文，算是模擬科研，對以後做科研是有好處的。

（註：個別語句為文從字順計，有所修改，原意不變。）

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