線性變換

03-31

線性空間的基本8條規則，規則是對空間內的元素的限制。

描述線性最基本的要素是：基（basis）和維度（dimension）。基：空間V的極大線性無關組。維度：就是基得秩，記為dim(V)。

問題：為什麼要進行空間映射？不同線性空間下的映射如何表示？不同空間的基如何轉換？同一變換在不同空間下關係如何？

映射的表示方式： $varphi:V_1 ightarrow V_2$ ， $T(a)=bA$ 即 $a_1=bx_1,...,a_n=bx_nRightarrow a= bA$ ，把 $V_1$ 的基底a在 $V_2$ 中表示出來(用b的線性組合表示出來)。

根據線性空間的規則： $T(z)=T(ax)=bAx$ 。

向量z在 $V_1$ （基是a）下坐標列向量是x，在 $V_2$ （基是b）的坐標列向量為y，映射關係可以表示為： $y=Ax$ 。 Ax直觀意義表示把空間 $V_1$ 中的列向量x映射到 $V_2$ 空間的列向量y。

基變化在不同空間的關係：

$V_1$ 的兩組基 $a ightarrow alpha ; alpha = a P$ ； $V_2$ 的兩組基 $b ightarrow eta;eta = bQ$

$V_1 ightarrow V_2$ 第一組基映射T： $a = bA$ ，第一組基映射T $alpha=eta B$

$Rightarrow alpha=bAP=bQBRightarrow AP=QBRightarrow B=Q^{-1}AP$

如果 $V_1=V_2=V$ 則Q=P $Rightarrow$ $B=P^{-1}AP$

維度公式： $dimV_1=dim(kervarphi )+dim(Imvarphi)$

例子：

二維空間中兩組基 $a = egin{bmatrix}1 &0\ 0 &1 end{bmatrix}$ ，和旋轉θ角度之後的基 $b= egin{bmatrix}cos( heta) &-sin( heta)\ sin( heta) &cos( heta) end{bmatrix}$

線性變換T: $T(a)=a=bA$ $Rightarrow$ $A= egin{bmatrix}cos( heta) &sin( heta)\ -sin( heta) &cos( heta) end{bmatrix}$

新舊坐標關係為： $y=Ax= egin{bmatrix}cos( heta) &sin( heta)\ -sin( heta) &cos( heta) end{bmatrix}egin{bmatrix}x_1\ x_2end{bmatrix}$

更清晰的一張圖：

ref : https://www.youtube.com/watch?v=Py9yunCRUA4&list=PLj6E8qlqmkFsnTes37wyzOREFTQ9Lv0hI&index=1
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