關於f』(g(x))與[f(g(x)]』的區別 ——f(x+1/x)=x^2+1/x^2

之前提問了這個問題，看到評論里有的同學和我有一樣的疑惑，於是想寫篇文章和有疑惑的人們分享下。

要搞清這個問題，首先要從函數和導數的定義出發：

設A，B是非空集合，若對於集對於A中的任意一個數x，按照某種確定的對應關係f，在集合B中都有唯一確定的數y 與之對應，那麼就稱f是定義在A上的函數，記為：

不難看出y對應著的是一個x，而括弧中的東西就是自變數。

設函數y=f(x)在點x0的某個鄰域內有定義，當自變數x在x0處有增量Δx，(x0+Δx)也在該鄰域內時，相應地函數取得增量Δy=f(x0+Δx)-f(x0)；如果Δy與Δx之比當Δx→0時極限存在，則稱函數y=f(x)在點x0處可導，並稱這個極限為函數y=f(x)在點x0處的導數記為f(x0)，也記作y│x=x0或dy/dx│x=x0，即

可知導數是與其自變數有關的。

明白這個之後，我們可以繼續進行了

這是因為通常情況下我們默認y的自變數就是括弧里的數，但是變式2中，題目要求的是求，這表明題目中的y的自變數相當於變成了x，即構建了另一個函數對應關係g

現在有y=g(x)=f(x+1/x),方程兩邊同時對x導，可得答案。

當然也可以用微分來理解，即令t=x+1/x

dy/dx=dy/dt*dt/dx

然後分別算微商來理解，這實際上就是一階微商的形式不變性。

講到這裡，我們可以看出f』(g(x))與[f(g(x)]』的區別就是前者將g(x)視為自變數，而後者將g(x)視為自變數，前者為f在x處的導數，後者為微商。

這有什麼用呢？

首先你就明白了，泰勒展開中

我想表達的是式子中原有f』(x0)，並沒有因為求導而多出一個2來。

後記：這類問題困擾我很久了，現在算是有點明白了，十分感謝幫助過我的人們，看到自己的提問被這麼多人關注，真的很感動。無論是網路中的，還是現實生活中的人們，再次向你們表達感謝。也正是因為這個原因，我才寫了這篇文章，想證明自己明白了，讓幫助過我的人知道：噢，這小子不糙。這是想幫助後來的人們，如果遇到了類似的問題可以有地方解惑，所以我在題目中加入了部分題目的關鍵字。由於不可抗力原因，圖片有點模糊，望見諒。

再次感謝所有幫助過我的人們，謝謝！

11.25.2016