在由勾股數組成的直角三角形中除斜邊所對直角為90o外，其餘兩角是否都不為整數角？

03-30

例如
除直角外的兩角不為30o 60o或37o這種整數角度
剛剛接觸勾股定理問了問老師是這樣的.......
看了回答發現..知乎er真的厲害的不少.......

原題問的是「整數度的角」。整數其實很好做，因為整數度的角只有 1o ~ 89o 這麼 89 個，挨個枚舉一遍，就能發現它們的三角函數基本都是無理數了。其中的有理數只有 sin 30o、tan 45o、cos 60o，很不幸並沒有一個整數度的角的正弦和餘弦都是有理數，於是證畢。

但是枚舉法很不優雅。現有的答案利用一些性質減小了枚舉量，但歸根結底還是要枚舉。

我想出了一種不用枚舉的辦法，並且能夠得出更強的結論：如果直角三角形的三邊都是整數，那麼其中的銳角的度數一定是無理數 —— 這不僅排除了整數，還排除了有理數。下面是證明過程。

首先利用反證法，把待證命題改為：如果一個銳角的度數為有理數，那麼它的正弦、餘弦中必有一個是無理數。

設這個銳角為 $a/b cdot 90 ^circ$ ，其中 a, b 為互質的正整數，且 a &< b。我們要證明 $sin(a/b cdot 90^circ)$ 、 $cos(a/b cdot 90^circ)$ 必有一個為無理數。

分子上有 a 很不爽，想辦法把它去掉。由於正、餘弦的 n 倍角公式都是整係數多項式，所以若 $sin(a/b cdot 90^circ)$ 、 $cos(a/b cdot 90^circ)$ 都有理，則 $sin(na/b cdot 90^circ)$ 、 $cos(na/b cdot 90^circ)$ 也都有理。這樣，只要證明 $sin(na/b cdot 90^circ)$ 、 $cos(na/b cdot 90^circ)$ 中必有一個無理數就行了。

咦？不是想去掉 a 嗎？怎麼又多出來一個 n …… 沒關係，由於 a, b 互質，所以一定能找到一個正整數 n，使得 $na equiv 1 ,( ext{mod } b)$ ，即 $(na - 1) / b$ 是整數。於是 $sin(na/b cdot 90^circ)$ 、 $cos(na/b cdot 90^circ)$ 就可以轉化為 $sin(90^circ / b)$ 、 $cos(90^circ / b)$ 了。（還記得那句「奇變偶不變，符號看象限」嗎？）

這裡面其實唯一的有理數就是 $sin(90^circ / 3)$ ，所以我們就來證明 $cos(90^circ / b)$ 是無理數。這裡用到的武器，還是餘弦的 n 倍角公式，又稱切比雪夫多項式。

前幾個 n 倍角公式為：

$egin{align} cos 2 heta = 2 cos^2 heta - 1 \ cos 3 heta = 4 cos^3 heta - 3 cos heta \ cos 4 heta = 8 cos^4 heta - 8 cos^2 heta + 1 \ cos 5 heta = 16 cos^5 heta - 20 cos^3 heta + 5 cos heta end{align}$

可以看出 $cos n heta$ 展開後最高次項為 $2^{n-1} cos^n heta$ 。這個 $2^{n-1}$ 看著也不爽，但我們可做如下的變形：

$egin{align} 2cos 2 heta = (2cos heta)^2 - 2 \ 2cos 3 heta = (2cos heta)^3 - 3 (2cos heta) \ 2cos 4 heta = (2cos heta)^4 - 4(2cos heta)^2 + 2 \ 2cos 5 heta = (2cos heta)^5 - 5 (2cos heta)^3 + 5 (2cos heta) end{align}$

這相當於是「二倍餘弦」這個三角函數的 n 倍角公式。注意，這些公式的右邊仍然是整係數多項式，並且最高次項係數為 1！

為什麼都是整係數的呢？因為 n 倍角公式是由如下的和差化積公式遞推出來的：
$cos,(n+1) heta + cos,(n-1) heta = 2 cos n heta cdot cos heta$
由此就有
$2cos,(n+1) heta = 2 cos n heta cdot 2 cos heta - 2cos,(n-1) heta$
這就是說，「二倍餘弦」的 n+1 倍角公式，是由 n 倍角公式、1 倍角公式、n-1 倍角公式通過乘法和減法運算而得的，由數學歸納法很容易得出，不管幾倍角公式，都是首一整係數多項式。

現在把 $heta = 90^circ / b$ 代入二倍餘弦的 b 倍角公式：

$2 cos 90^circ = [2 cos (90^circ / b)]^b + ldots$

右邊是一個關於 $2cos(90^circ / b)$ 的首一整係數多項式，而左邊等於零。

首一整係數多項式有個性質：它的實根要麼是整數，要麼是無理數。

這個結論可以用反證法證明：設一個首一整係數多項式 $x^n + ldots$ 有一個實根是形如 p/q 的有理數（p,q 為整數且互質），則 $(p/q)^n + ldots = 0$ 。兩邊同乘以 $q^n$ ，則左邊的首項變成 $p^n$ 不是 q 的倍數，而其它各項都是 q 的倍數，加起來不可能等於零，矛盾。

於是， $2cos(90^circ/b)$ 要麼是整數，要麼是無理數。

根據餘弦函數的取值範圍， $2cos(90^circ/b)$ 在 0 到 2 之間，而它等於 1 時 b = 1.5 又不是整數，所以 $2cos(90^circ/b)$ 必須是無理數， $cos(90^circ/b)$ 也必須是無理數。證畢！

@靈劍提出了一個更優雅的證明方法，不過這種方法涉及到較多關於「代數整數」的知識，恐怕中學生看不懂。

證明目標為：如果一個角的度數是有理數，而且它不是 90o 的整數倍，則這個角的正、餘弦至少有一個是無理數。

設這個角為 $heta = a/b cdot 360^circ$ ，其中 a 為整數，b 為正整數，且 a, b 互質。由歐拉公式，有

$cos heta + ext{i}sin heta = ext{e}^{ ext{i} heta}$

兩邊同取 b 次方，有

$(cos heta + ext{i}sin heta)^b = ext{e}^{ ext{i} b heta}$

而 $b heta$ 是 360o 的整數倍，所以右邊等於 1。這說明 $cos heta + ext{i}sin heta$ 是一個代數整數。

插播一下代數整數的定義及幾條性質：

0. 如果一個複數是一個首一多項式的根，那麼這個複數稱為代數整數。
1. 如果 a, b 是代數整數，那麼 a+b、ab 都是代數整數。
　這一條的證明比較困難，略。
　由此也可以知道 a 的共軛、ai、-a、a-b 都是代數整數。
　但 a/b 則不一定是代數整數。
2. 如果一個有理數是代數整數，那麼它就是整數。（上文已有證明）

現在看 $cos heta + ext{i}sin heta$ 這個代數整數。

由性質 1， $cos heta - ext{i}sin heta$ 也是代數整數。

二者相加減，可知 $2cos heta$ 和 $2sin heta$ 都是代數整數。

由性質 2，如果它們都是有理數，那麼它們都必須是整數，也就是只能取 -2, -1, 0, 1, 2；也就是說 $cos heta$ 和 $sin heta$ 只能取 -1, -1/2, 0, 1/2, 1。

又因為 $cos^2 heta + sin^2 heta = 1$ ，所以 $cos heta$ 和 $sin heta$ 只能取 -1, 0, 1，也就是說 $heta$ 是 90o 的整數倍。

那麼，如果 $heta$ 不是 90o 的整數倍， $cos heta$ 和 $sin heta$ 中就必須有一個無理數了。

我提一個簡單一點的方法，我們只考慮正切值，看哪些整數度角的正切值是有理數。由於正切的兩角和差公式保證了：如果兩個角的正切值都是有理數，則它們的和差的正切值也都是有理數（為了方便，我們特別規定正切值不存在也視為有理數，不難證明這是相容的），根據數論知識，這意味著兩個整數度角的最大公約數度正切值也是有理數（通過擴展的輾轉相除法）。

考慮最小的正切值為有理數的整數度角，很容易證明所有的有理數度角都是它的倍數，否則如果存在不是倍數的角，它們的最大公約數一定更小。因為45度的正切值是有理數，而30度不是，所以這個角是45的約數而非30的約數，要麼是9，要麼是45。如果是9，那麼18度也應該是有理數，但是可以通過36度頂角的等腰三角形計算出它的值，它是一個跟黃金分割數有聯繫的無理數，不是有理數，所以不能是9，那麼只能是45了，這意味著整數度里正切是有理數的只有45度一個，它顯然不是勾股三角形

補充：其實不需要算出18度的正切值，根據萬能公式，如果18度正切是有理數，則36度的正弦和餘弦都是有理數，72度的餘弦也是有理數了，但72度餘弦是1/(1+根號5)，它是黃金分割比的一半，一個無理數，可以通過36度頂角的等腰三角形計算。

37度是個近似值，準確值也不是整數角

30度和60度不可能所有邊都是整數，因為兩條直角邊之比是 $sqrt{3}$

至於所有整數角度，有點難證明：

引理1：若 $an hetainmathbb{Q}$ ，那麼對於任何正整數n都有 $an n hetainmathbb{Q}$ 或不存在

顯然那n=1時結論成立，若n=k時 $an k hetainmathbb{Q}$ ，則

$an(k+1) heta=frac{ an k heta+ an heta}{1- an k heta an heta}$

由有理數域的四則運算封閉性可知 $an(k+1) hetainmathbb{Q}$ 或不存在，從而任何正整數結論都成立。

推論1：若 $an n heta$ 是無理數，那麼對於任何n的因數m，都有 $an m heta$ 是無理數。

否則 $an n heta= an frac{n}{m}m heta$ 應當是有理數或不存在，與假設矛盾。

引理2： $an hetainmathbb{Q}Rightarrow an(frac{pi}{2}- heta)inmathbb{Q}$ 或不存在

因為 $an(frac{pi}{2}- heta)=cot heta=frac{1}{ an heta}$

引理3： $an hetainmathbb{Q}Rightarrow an(frac{pi}{4}- heta)inmathbb{Q}$ 或不存在

因為 $an(frac{pi}{4}- heta)=frac{1- an heta}{1+ an heta}$

下面推理，取 $heta=1^circ=frac{pi}{180}$ ，當n=60時，已知 $an 60^circ=sqrt{3}$ ，由於60的因數有

1、2、3、4、5、6、10、12、15、20、30、60

由推論1可知這些角度的正切都不是有理數。

由引理2可知99、98、97、96、95、94、80、78、70也不是(這一段有問題，把90度當成100度了，修改放在後面)

由引理3可知44、43、42、41、40、39、35、33、25、15也不是

然後我們又可以幹掉他們的因數，只考慮23度以下

99殺掉9、11，98殺掉7，96殺掉8、16

12以下全滅

95殺掉19，78殺掉13，70殺掉14

16以下全滅

17=34/2=(45-11)/2

18=36/2=(45-9)/2

21=42/2=(45-4)/2

22=44/2=(45-1)/2

所以22以下都不行，由引理3，45以下都不行，由引理2，除了45度所有整數角度銳角的正切都不是有理數。

於是一個整數角度銳角的正切為有理數當且僅當為45度。（這裡銳角是指大於0小於90度，不包括0）

然而45度的正弦不是有理數，於是整數角度的直角三角形不可能三條邊都是整數。

補充說明：

之前算錯了，周末沒看，今天才注意，下面改下：

60的因數為：1、2、3、4、5、6、10、12、15、20、30、60

用90減去這些因數，可以排除89、88、87、86、85、84、80、78、75、70

7=70/10，8=88/11，11=88/8，13=78/6，14=70/5，16=80/5，17=85/5，22=88/4。

現在23以下的數還剩下9、18、19、21。

用45減去60的因數，可以排除44、43、42、41、40、39、35、33、30、25

21=42/2

19稍微複雜點，但也不難：

19=(90-33)/3

但9和18就有點麻煩了，因為45和90都是9的倍數，不可能從一個不是9的倍數的數通過45和90減出來一個9的倍數，不過好在我們知道黃金三角形正好是72、36、36。從而 $an72^circ=frac{sqrt{10+2sqrt{5}}(sqrt{5}+1)}{4}$

這樣9和18才能被排除。

不存在。

假如存在這樣的直角三角形，那麼它的兩個銳角都是整數度，而三條邊也都是整數。

記其中一個銳角是k度，那麼cos(k度)，sin(k度)是有理數。

設d是k和90的最大公約數，那麼存在整數u，v使得d=ku+90v，從而con(d度)，sin(d度)也是有理數。

然而d的可能的取值只有1，2，3，5，6，9，10，15，18，30，45，以這些數為度數的角的正弦和餘弦肯定不同時是有理數。因為有性質：如果sin x和cos x同為有理數，則sin nx和cos nx也同為有理數。如果sin(1度)和cos(1度)同時是有理數，就導致sin(45度)是有理數，矛盾。其餘的情況可以類似。

既然題主是剛剛學勾股定理，那就不說那麼多。

一句話結論：

直角三角形裡面，「三邊是有理數」和「角度是有理數（角度制）」最多能滿足一個。

對於剛接觸勾股定理的同學來說，能這樣想，很不錯。

但是，很不幸的是要解釋這個問題需要用到三角函數的知識。

如果一直角三角形三邊長均為整數，並且三個內角度數均為整數，這是不存在的。

用歐拉計劃的一道題來說明一下。

我有一個很好的證明方法，可惜這裡寫不下

建議引入弧度制…

你把高中數學課本買一下，然後你就會發現弧度制比角度制好用多了…

在由勾股數組成的直角三角形中 除斜邊所對直角為90o外，其餘兩角是否都不為整數角？

在由勾股數組成的直角三角形中除斜邊所對直角為90o外，其餘兩角是否都不為整數角？