The Classification of covering space

03-29

本文是代數拓撲課的筆記

對覆疊空間的分類當然是一個重要的話題。在底空間 $B$ 足夠好時，我們可以完全地分類 $B$ 的覆疊空間，精確地說，

Thm（覆疊空間分類定理）對於道路連通、局部道路連通、半局部單連通的底空間 $B$ ，取定 $b$ 是 $B$ 中點，我們有 $mathrm{Cov}(B)$ 和 $pi_1(B,b)-mathrm{Set}$ 範疇等價。

上文中 $mathrm{Cov}(B)$ 是指 $B$ 的覆疊空間範疇， $pi_1(B,b)-mathrm{Set}$ 是 $pi_1(B,b)$ 對應的G-set 範疇。這篇文章的目的是證明這個範疇等價，並得到幾個推論。

Def 我們定義 $mathrm{Cov}(B)$ 到 $pi_1(B,b)-mathrm{Set}$ 的函子 $F$ ：記 $p : E ightarrow B$ 是覆疊，則 $F(p) :=p^{-1}(b)$ ，裝備自然的 $pi_1(B,b)$ 作用；記 $f : p_1 ightarrow p_2$ 是覆疊間態射，則 $F(f)$ 是 $f$ 限制在纖維 $p^{-1}(b)$ 上。

Prop $F$ 確是 $mathrm{Cov}(B)$ 到 $pi_1(B,b)-mathrm{Set}$ 函子。

Pf：trivial

Prop $F$ 是 fully faithful 的

Pf：通過取道路連通分支，可設處理的空間都是道路連通的而不失一般性，則有

單射：設 $F(f_1)=F(f_2)$ ，其中 $f_i:p_1 ightarrow p_2$ 是覆疊間態射， $p_i : E_i ightarrow B$ 是覆疊。運用提升唯一性即得 $f_1=f_2$ 。
滿射：設有 $p_i : E_i ightarrow B$ 是覆疊， $g: p_1^{-1}(b) ightarrow p_2^{-1}(b)$ 是 $pi_1(B,b)$ -map，取 $b_1 in p_1^{-1}(b),b_2 = g(b_1)$ ，它是 $pi_1(B,b)$ -map給出 $b_1$ 的穩定化子含於 $b_2$ 的穩定化子，而這就是說 $p_1(pi_1(E_1,b_1))$ 含於 $p_2(pi_1(E_2,b_2))$ ，從而由 lifting criterion 知存在 $f : p_1 ightarrow p_2$ 是提升，使得 $f(b_1)=b_2$ ，而 $F(f)$ 是 $pi_1(B,b)$ -map 和 $pi_1(B,b)$ 作用的可遷性給出 $F(f)=g$ 。

我們已經構造了 $mathrm{Cov}(B)$ 到 $pi_1(B,b)-mathrm{Set}$ 的函子，接下來我們反過來，構造 $pi_1(B,b)-mathrm{Set}$ 到 $mathrm{Cov}(B)$ 的函子 $G$ 。

一個基礎性定理是：對於道路連通、局部道路連通、半局部單連通的底空間 $B$ ，萬有覆疊總存在。知道這件事後，我們可以做以下構造：對 $S$ 是 $pi_1(B,b)$ -集合，定義 $E imes_{ pi_1(B,b) }S := E imes S / sim$ ，這裡的 $E$ 是萬有覆疊， $sim$ 定義為 $(e,s) sim (eg,g^{-1}s),forall g in pi_1(B,b)$ ，定義 $q: E imes_{ pi_1(B,b) }S ightarrow B$ 如 $q([e,s])=p(e)$ ，注意等價的點都在一根纖維內，這是良定義的；定義 $G(S)=E imes_{ pi_1(B,b) }S$ 。

注意：這裡定義的等價關係是 $(e,s) sim (eg,g^{-1}s),forall g in pi_1(B,b)$ ， $pi_1(B,b)$ 在 $E$ 上的作用是右作用 $eg := g^{-1}e$ ，這樣左得做的好處我們稍後就會看到

我們要做的事情是：1，說明 $E imes_{ pi_1(B,b) }S$ 確是覆疊；二，將 $G$ 定義在 $pi_1(B,b)-Set$ 間的態射上；三，證明 $G$ 確實是範疇等價。

為此，對 $p:Q ightarrow B$ 是道路連通的覆疊，我們需要定義 $mathrm{Aut}(p)=mathrm{Hom}_{mathrm{Cov}(B)}(p,p)$ ，也即覆疊空間範疇內 $p$ 的自同構群， $mathrm{Aut}(p)$ 自然地作用在 $Q$ 上，並且這個作用是 free 的，更進一步，容易看出它是 properly disconnected 的（注意到這依賴於底空間的局部道路連通性！）。從而我們可以說： $Q$ 是 $B$ 的一個 $mathrm{Aut}(p)$ -principal covering。

另一邊，我們證明過，覆疊空間到 G-set 範疇的函子是 fully faithful 的，從而我們知道 $mathrm{Aut}(p) cong mathrm{Aut}(p^{-1}(b))$ ，右側指的是 G-set 集合的自同構群。我們知道 $p^{-1}(b)$ 作為 $pi_1(B,b)-mathrm{Set}$ 同構到 $pi_1(B,b)/p(pi_1(Q,q))$ ，其中 $q in p^{-1}(b)$ ，也即左陪集空間。因此一些初等的群論討論讓我們知道： $mathrm{Aut}(p) cong N_{pi_1(B,b)}p(pi_1(Q,q))/p(pi_1(Q,q))$ 。特別地，對萬有覆疊，我們有 $mathrm{Aut}(p) cong pi_1(B,b)$ 。

寫下 $mathrm{Aut(p)} cong N_{pi_1(B,b)}p(pi_1(Q,q))/p(pi_1(Q,q))$ ，突然想起來那句話：「There are only two hard things in Computer Science: cache invalidation and naming things.」

做了以上的準備工作，i.e. 知道 $E$ 是 $B$ 的一個 $pi_1(B,b)$ -principal covering，就不難驗證 $E imes_{ pi_1(B,b) }S$ 是一個覆疊這件事，事實上容易驗證 $q^{-1}(b) cong S$ （自然地，在 $pi_1(B,b)$ -Set 意義下）。

有了這樣的知識，我們可以將 $G$ 定義在 $pi_1(B,b)-mathrm{Set}$ 間的態射上了：設 $f:S_1 ightarrow S_2$ 是 $pi_1(B,b)$ -map，定義 $G(f):E imes_{ pi_1(B,b) }S_1 ightarrow E imes_{ pi_1(B,b) }S_2$ 如 $G(f)([(e,s)])=[(e,f(s)]$ ，容易驗證它是良定義的，且確是 $mathrm{Cov}(B)$ 中態射，並的確有函子性。我們構造了 $pi_1(B,b)-mathrm{Set}$ 到 $mathrm{Cov}(B)$ 的函子。

現在我們來驗證 $F$ 和 $G$ 都是範疇等價，對於 $F circ G$ ，取定 $e in p^{-1}(b)$ ，定義 $phi_S: S ightarrow Fcirc G(S)$ 是 $s ightarrow [(e,s)]$ ，注意到為了保證它是 $pi_1(B,b)$ -map，我們必須要定義 $E imes_{ pi_1(B,b) }S$ 上那個反群作用誘導的等價關係。容易驗證這給出了一個自然等價。

反之，對於 $G circ F$ ，每個 $E$ 都對應一個 $f_E: E ightarrow E imes_{pi_1(B,b)}p^{-1}(b)$ ， $f_E(b_0)=[(e,b_0)] ,forall b_0 in p^{-1}(b)$ ，這由 $F$ 的 fully faithful 性質保證。容易驗證這給出了一個自然等價。

q.e.d.

有了這個定理之後，讓我們來看一個應用，比如說：分類連通覆疊空間。

DEF：定義 $mathrm{Cov_0}(B)$ 是 $Cov(B)$ 中所有連通空間構成的子範疇， $mathrm{Orb}(G)$ 是 $G-mathrm{Set}$ 範疇中全體形如 $G/H$ 的元素，也即左陪集空間構成的子範疇

覆疊空間分類定理使我們立刻得到這兩個範疇等價，對 $B$ 的連通覆疊空間 $Q$ 一定有一個 $f:E ightarrow Q$ 的映射，在範疇等價下對應到 $pi_1(B,b) ightarrow pi_1(B,b)/H$ ，取 $E$ 的 $H$ -principal covering $R$ ，就得到 $R cong Q$ ，也就是說：

Prop： $B$ 的連通覆疊空間都可被實現為其萬有覆疊的 $G$ -principal covering