奇異值的物理意義是什麼？

我以前看過吳軍的數學之美，現在讓我們來看看奇異值分解是怎麼回事。

首先，我們可以用一個大矩陣A來描述這一百萬篇文章和五十萬詞的關聯性。這個矩陣中，每一行對應一篇文章，每一列對應一個詞。

• 在上面的圖中，M=1,000,000，N=500,000。第i行，第j列的元素，是字典中第j個詞在第i篇文章中出現的加權詞頻讀者可能已經注意到了，這個矩陣非常大，有一百萬乘以五十萬，即五千億個元素。

• 奇異值分解就是把上面這樣一個大矩陣，分解成三個小矩陣相乘，如下圖所示。比如把上面的例子中的矩陣分解成一個一百萬乘以一百的矩陣X，一個一百乘以一百的矩陣B，和一個一百乘以五十萬的矩陣Y。這三個矩陣的元素總數加起來也不過1.5億，僅僅是原來的三千分之一。相應的存儲量和計算量都會小三個數量級以上。

三個矩陣有非常清楚的物理含義：

1. 矩陣X中的每一行表示意思相關的一類詞，其中的每個非零元素表示這類詞中每個詞的重要性（或者說相關性），數值越大越相關。

2. 矩陣Y中的每一列表示同一主題一類文章，其中每個元素表示這類文章中每篇文章的相關性。

3. 矩陣B則表示類詞和文章之間的相關性。因此，我們只要對關聯矩陣A進行一次奇異值分解，我們就可以同時完成了近義詞分類和文章的分類。

1、我覺得首先要弄清楚什麼是奇異值，矩陣的奇異值是一個數學意義上的概念，一般是由奇異值分解（Singular Value Decomposition，簡稱SVD分解）得到。如果要問奇異值表示什麼物理意義，那麼就必須考慮在不同的實際工程應用中奇異值所對應的含義。

2、奇異值往往對應著矩陣中隱含的重要信息，且重要性和奇異值大小正相關。每個矩陣A都可以表示為一系列秩為1的「小矩陣」之和，而奇異值則衡量了這些「小矩陣」對於A的權重。在圖像處理領域，奇異值不僅可以應用在數據壓縮上，還可以對圖像去噪。如果一副圖像包含雜訊，我們有理由相信那些較小的奇異值就是由於雜訊引起的。當我們強行令這些較小的奇異值為0時，就可以去除圖片中的雜訊。

3、另外的話，我覺得奇異值分解還廣泛的用於主成分分析（Principle Component Analysis，簡稱PCA）和推薦系統（如Netflex的電影推薦系統）等。在這些應用領域，奇異值也有相應的意義。考慮題主在問題描述中的敘述：「把m*n矩陣看作從m維空間到n維空間的一個線性映射，是否：各奇異向量就是坐標軸，奇異值就是對應坐標的係數？」

4、最後，我覺如果真的有興趣的話，可以去知網等去看一下參考文獻，那裡的話更清晰更權威。