[科普]電磁波背後的偽超距作用

03-25

（*本文為Jackson讀書筆記，主要為了澄清縱橫電流和超距四矢勢的瓜葛*）

真空中麥克斯韋方程組，如果在不聲明任何規範的情況下，可以改寫成矢勢形式：

$egin{aligned} abla^2Phi+partial_t(oldsymbol{ abla}cdot mathbf{A})&=- ho/epsilon_0\ abla^2mathbf{A}-c^{-2}partial_t^2mathbf{A} -oldsymbol{ abla}(oldsymbol{ abla}cdot mathbf{A}+c^{-2}partial_tPhi) &=-mu_0oldsymbol{J} end{aligned} ag{0}$

在確立了規範之後，比如庫倫規範[注1]（輻射規範/橫規範[注2]） $oldsymbol{ abla}cdot mathbf{A}=0$ , 那麼(0)化簡為:

$egin{aligned} abla^2Phi&=- ho/epsilon_0\ abla^2mathbf{A}-c^{-2}partial_t^2mathbf{A} &=-mu_0mathbf{J}+c^{-2}partial_toldsymbol{ abla}Phi end{aligned} ag{0.1}$

其中泊松方程裡面自由空間的格林函數在不同基底下可選作 $G=frac{|mathbf{x} anglelanglemathbf{x}|}{|mathbf{x}-mathbf{x}|} =4pisum_{l=0}^inftysum_{mle|l|} frac{|Y_{lm} angle r_<^llangle Y_{lm}|}{(2l+1)r_>^{l+1}} ,,,,,,,,,,,r_{</>}=min/max{r,r} ag{0.2}$

應當注意到如果把上述格林函數看成傳播子，它指出庫倫規範下電勢的傳播是超距的，瞬時作用於全空間。

如果所取規範是洛倫茲規範 $c^{-2}partial_tPhi+ ablacdot mathbf{A}=0$ ，那麼(0)化簡為:

$egin{aligned} &( abla^2-c^{-2}partial_t^2) left{ egin{aligned} Phi/c\ mathbf{A} end{aligned} ight} =-mu_0 left{ egin{aligned} c ho\ mathbf{J} end{aligned} ight}\ end{aligned} ag{0.3}$

波動方程的推遲格林函數是 $G^{(+)}(x;x)=frac {deltaleft( t-left[t-frac{|mathbf{x}-mathbf{x}|}{c} ight] ight)} {|mathbf{x}-mathbf{x}|} ag{0.4}$

就沒有庫倫規範中的超距問題。

最後一點是，無論任何時候，電荷是守恆的：

$partial_t ho + oldsymbol{ abla}cdotmathbf{J}=0 ag{0.5}$

對於（0.1）式，光速傳播的電磁輻射並不是顯然的。因為我們有超距作用的電勢(Instantaneous Coulomb potential)： $Phi^I(x,t)=frac{1}{4piepsilon_0}intfrac{ ho(x,t)}{|mathbf{x}-mathbf{x}|}mathrm{d}^3x ag{1.1}$

我們應當注意，只有電磁場自身的強度是可以測量的，超距電勢本身不能完全決定電場，我們可以隨時改變任何位置規定好的電位（甚至庫倫規範對電勢沒有任何約束），而電荷守恆要求時變超距電勢必須伴隨著時變矢勢的存在，結果是，電磁場恰好是光速傳播的。

下面證明上面這件事情：

利用亥姆霍茲分解(Helmholtz decomposition), 電流密度如果在無窮遠消失得足夠快，那麼它可以被分解成無散和無旋的兩部分, 又稱為縱/橫電流，

$mathbf{J}=mathbf{J}_l+mathbf{J}_t ,,,,,,, mathbf{J}_l=oldsymbol{ abla} f,,,,,,, mathbf{J}_t=oldsymbol{ abla} imesmathbf{V} ag{1.2}$

縱和橫當然是在暗示著傅里葉分解只包含縱(橫)波分量。

利用 $abla^2(1/|mathbf{x}-mathbf{x}|)=-4pidelta(mathbf{x}-mathbf{x})$ , 亥姆霍茲分解的顯式分解為：

$egin{aligned} mathbf{J}_l&=-frac{1}{4pi}oldsymbol{ abla}intfrac{oldsymbol{ abla}cdot mathbf{J}(x)}{|mathbf{x}-mathbf{x}|}mathrm{d}^3x\ mathbf{J}_t&=frac{1}{4pi}oldsymbol{ abla} imesleft(oldsymbol{ abla} imesintfrac{mathbf{J}(x)}{|mathbf{x}-mathbf{x}|}mathrm{d}^3x ight)end{aligned} ag{1.3}$

另一方面，由於電荷守恆，時變的電流分布滿足

$partial_t ho=-oldsymbol{ abla}cdotmathbf{ J} =-oldsymbol{ abla}cdot mathbf{ J}_l ag{1.4}$

理所應當地，橫電流不參與電荷的聚集。更重要的是，(1.1)(1.3)的結合指出：

$c^{-2}oldsymbol{ abla}partial_tPhi=mu_0 mathbf{J}_l ag{1.5}$

也就是(0.1)式中，縱電流和超距勢的貢獻相抵消，使得最後產生總磁矢勢的只有橫電流：

$abla^2mathbf{A}-c^{-2}partial_t^2mathbf{A} =-mu_0mathbf{J}_t ag{1.6}$

再利用規範 $oldsymbol{ abla}cdot mathbf{A}=0$ 的傅里葉分解，可知時變的3-矢勢A偏振自由度只有兩個. 這便是輻射規範（庫倫規範）的直接好處。

進而，可測量的物理量 $mathbf{B}=oldsymbol{ abla} imes mathbf{A}$ 也只有兩個偏振。

如果輻射源的電流分布是無散的時候，縱電流不存在，輻射電場 $mathbf{E}=-partial_tmathbf{A}$ 也當然只有兩個偏振，並且以光速傳播。

可是輻射源，比如天線上的電流分布往往是有散的，這使得超距電勢本身不為0.

為了調和超距電勢可以產生超距電場的矛盾，我們必須指出，正如輻射規範下電勢是超距的，磁矢勢本身也是(部分)超距的，以至於所測的輻射電場 $mathbf{E}=-partial_tmathbf{A}-oldsymbol{ abla} Phi$ 在抵消下不存在超距傳播。比較不嚴格地說明這一點，我們舉一個比較一般化的可以手解的例子：

考慮一個半徑為a的金屬球殼輻射天線上的時變電荷分布導致的在r>a處的電磁輻射，只要令a趨於0，我們可以模擬任何局域源的遠場傳播。

對於任意電荷分布，其某個球諧分量為:

$egin{aligned} ho(mathbf{x},t)&=mathrm{Re}left[sigma_0delta(r-a) Y_{lm}( heta,varphi)e^{-iomega t} ight]\ end{aligned} ag{1.8.0a}$

球諧函數Y_lm的實部，紅正藍負。

由 $abla^2=r^{-1}partial_r^2(r,cdot)-L^2/r^2$ , $mathbf{L}=-imathbf{r} imesoldsymbol{ abla}$ , 容易證明電流密度

$mathbf{J}(mathbf{x},t)=mathrm{Re}left[- frac{iomegasigma_0a^2delta(r-a)}{l(l+1)}oldsymbol{ abla}Y_{lm}( heta,varphi)e^{-iomega t} ight] ag{1.8.0b}$

為可以滿足電荷守恆(0.5)的其中一解[注3]。

顯然上式的電流密度並不是恰當(exact)的，所以它不是任何標量場的梯度/矢量場的旋度[注4]，也就是說它不是純粹的縱電流或者橫電流。

而根據(1.3)，儘管真實的電流是局域在天線上(1.8.0b), 但是縱/橫電流顯然是散布在全空間的：

$egin{aligned} mathbf{J}_l&= frac{1}{4pi}oldsymbol{ abla}intfrac{partial_t ho(mathbf{x},t)}{|mathbf{x}-mathbf{x}|}mathrm{d}^3x =mathrm{Re}left[-frac{iomega sigma_0a^{l+2}}{2l+1} oldsymbol{ abla}frac{Y_{lm}( heta,varphi)}{r^{l+1}} e^{-iomega t} ight] end{aligned} ag{1.8.1a}$ $egin{aligned} mathbf{J}_t&= mathbf{J}- mathbf{J}_l\ end{aligned} ag{1.8.1b}$

由電荷分布(1.8.0a)，在天線外部r>a求得電勢是超距傳播的:

$Phi(mathbf{x},t)=Phi^I(mathbf{x},t)=mathrm{Re}left[frac{sigma_0a^{l+2}}{epsilon_0(2l+1)}frac{Y_{lm}( heta,varphi)}{r^{l+1}} e^{-iomega t} ight] ag{1.8.2}$

通過觀察，利用 $frac{Y_{lm}( heta,varphi)}{r^{l+1}}$ 是調和函數這一事實，容易發現，同時也存在一個超距矢勢：

$mathbf{A}^I(mathbf{x},t) =mathrm{Re}left[ frac{1}{iomega}frac{sigma_0 a^{l+2}}{epsilon_0(2l+1)} oldsymbol{ abla}frac{Y_{lm}( heta,varphi)}{r^{l+1}} e^{-iomega t} ight] ag{1.8.3}$

使得如下方程

$( abla^2-c^{-2}partial_t^2)mathbf{A}^I=-mu_0(-mathbf{J}_l) ag{1.8.4}$

成立，並且恰好使得超距電場消失：

$mathbf{E}^I=-oldsymbol{ abla}Phi^I-partial_tmathbf{A}^I=0 ag{1.8.5}$

換句話說，總電流 $mathbf{J}_t=mathbf{J}+(-mathbf{J}_l)$ 在(1.6)產生的總矢勢可以分解為 $mathbf{A}=mathbf{A}^c+mathbf{A}^I$ ，其中 $mathbf{A}^I$ 是超距傳播的，但 $mathbf{A}^c$ 嚴格以光速傳播[注5]， $mathbf{A}^I$ 和 $Phi^I$ 一起（1.8.5）使得超距電場為0，最後對電磁輻射有貢獻的 $(Phi^I/c,mathbf{A}^c+mathbf{A}^I)$ 只有空間分量的一個非超距部分 $mathbf{A}^c$ : $mathbf{J}longrightarrow mathbf{A}^c longrightarrow left{ egin{aligned} mathbf{E}&=-partial_tmathbf{A}^c\ mathbf{B}&=oldsymbol{ abla} imesmathbf{A}^c\ end{aligned} ight. ag{1.8.6}$