1-2+3-4+5……是否等於1/4?1+2+3+4+5+6+7....是否等於-1/12?

題主應該問怎樣明白1+2+3...=-1/12的意義，而不該該問是否便是。

要是問是否便是，那這取決於」便是「的定義。這個款式是ramanujan求和，在」某個「定義下創建。

以是，我想題主大概真正想問的大概這類款式背後的意義是什麼？初等數學/初等物理/其他學科里都應該不會打仗到必要這個款式的場景，要明白動機並不容易。我下面給一個盡大概大略的表明，這必要你對泰勒級數以及初等物理有一點相識。

在最前沿的物理理論中，你和我想要形貌的物理體系每每黑白常巨大的，巨大到你和我僅僅只知道怎樣去」微繞謀略「。意思是，這個物理體系包括某個參量λ，然後體系有一系列的可觀丈量。你和我的理論僅僅知道，當λ很小的時間，可觀丈量可以寫成λ的泰勒級數，然後你和我知道怎樣去逐階的謀略泰勒級數的係數。

細緻，這和工程上的逐級雷同謀略是差別的。你把泰勒級數用於工程雷同謀略，那個理論本身是完全知道的，理論的定義是清楚的。而我上面說這種環境，是理論本身便是在逐級展開的意義下，你和我把這種理論叫做微擾論(perturbativetheory)。那麼正確的理論是什麼？比如，要是λ並不小，你和我怎樣謀略對應的物理量？很抱歉，沒人確切的知曉，這是個懸而未決的大題目，也是理論物理中引導人們思索的中間題目（要是你辦理了，可以從clayinstitution得到一百萬美元）。

細緻，我說的是」沒人確切的知曉「，而不是」一竅不通「。究竟上，你和我有種種推測方法。比方，要是你和我知道λ很小的時間，某個物理量是1+λ+λ^2+λ^3....。那麼，當λ並不小，比方，當λ=2的時間，這個物理量會是多少呢？要是你和我直接去謀略，會得到1+2+4+...發散。但你和我確信物理量是不大概發散的。那麼很有大概，著實正確解(exact，而不是accurate)是1/(1-λ)，然後由於你和我的無能，你和我的理論僅僅只能定義在泰勒展開的意義下，以是理論在定義之初就做了一個錯誤的泰勒展開，以是你和我得到發散的結果。

但，發散的結果並非沒故意義。要是你謀略常見的初等函數的泰勒級數，你會發明除了1/(1-λ)之外，沒有哪個函數能給出1+λ+λ^2+λ^3...這個表達式。究竟上，數學定理（uniquenessofanalyticcontinuation）包管了「分析」函數之中，只有1/(1-λ)具有如許的展開式。以是，你和我的推測很有大概是靠譜的。

上面這個故事真正的開闢便是，發散級數中存在「信息」。要是你和我充足智慧，你和我就可以從這些蛛絲馬跡中提取出原形。總結成一句話，便是

Seriesdon"tdivergefornoreason;itisnotacapriciousthing.Thedivergenceof

aseriesmustreflectitscause.---M.V.Berry

回到樓主這個題目。假設你在某個理論中謀略一個物理量，比如能量E，得到一個表達式E=1+2+3...。你怎樣知道，這個款式便是真正正確（exact，而非accurate）的呢？究竟上，你和我知道這不大概是正確的，由於能量不大概發散。那麼，說不定真正正確的表達式大概是

E=1^s+2^s+3^s+...

然後你和我的理論僅僅只存眷了s-1這個極限？！假設云云，則你和我一開始就犯了個錯誤，由於這個款式的求和與取極限並不克不及互換。先極限後求和，結果發散。而先求和，結果是zeta(-s)，再取極限，得到-1/12。

你大概會問，為什麼正確解會是

E=1^s+2^s+3^s+...,lims-1

為什麼不是

E=1^(1+s)+2^(1+2s)+3^(1+3s)+...,lims-0

呢？

著實你可以布局出無數個款式，其先極限後求和的結果是1+2+3+...。要是先求和後極限，他們大概會得到差別的結果（發散級數大概有差別的求和方法）。那麼，你和我怎樣知道E=1^s+2^s+3^s+...,lims-1這個款式是對的呢？

究竟上，大部分時間你和我不知道。玩這種遊戲的時間，結果每每只是種推測。但這種推測可以引導你和我去闡發題目。比方，1+2+3...=-1/12這個款式用於弦論在lightcone量子化框架下謀略能量，之後人們發明可以用另一個框架BRST量子化謀略能量。後者無需1+2+3...=-1/12也仍舊得到和前者一樣結果。

通常而言，訴諸於這類傷害操縱得到的單個結果並不完全可信。但你和我會從差別的框架去果斷，偶然會和實行/數值模仿比擬，要是相互之間的結果都自洽，那你和我就信託這是對的。這便是物理學家的思索方法。