HJM利率模型的Markov化－S-R 模型(2)

03-19

上文中我們得到了滿足Markovian性質的S-R模型下 $f(t,T)$ 的如下形式：

$f(t,T)=f(0,T)+k(t,T)Gamma(t) + k(t,T)gamma(t,T)Phi(t)$ (1)

通過兩邊積分我們得到

$int^{T}_{t} f(t,s)ds = int^{T}_{t} f(0,s)ds + int^{T}_{t} k(t,s)Gamma(t)ds + int^{T}_{t} k(t,s)gamma(t,s)Phi(t)ds\ = int^{T}_{t} f(0,s)ds + Gamma(t)gamma(t,T) + frac{1}{2}Phi(t)gamma^{2}(t,T)$ (2)

注意到遠期零息貼現因子 $P(0,t,T)=frac{P(0,T)}{P(0,t)}=expleft( -int^{T}_{t} f(0,s) ds ight)$ (3)

結合(2),(3), 我們得到

$P(t,T)=expleft( -int^{T}_{t} f(t,s) ds ight)=frac{P(0,T)}{P(0,t)}expleft(-gamma(t,T)Gamma(t) - frac{1}{2}gamma^{2}(t,T)Phi(t) ight)$

這樣我們便得到了 $P(t,T)$ 用狀態變數表示的表達式。

我們的第二個任務是推導狀態變數 $M(t), Phi(t),Gamma(t)$ 的動力學微分方程，從而可以用於蒙特卡洛模擬方法。

$M(t)$ . 這是最簡單的：根據 $M(t)=exp left( int^{t}_{0}r(s)ds ight)$ , 很容易得到 $dM(t) = r(t)M(t)dt$
$Phi(t)$ . 我們知道 $Phi(t)= int^{t}_{0} sigma^{2}_{F}(s,t) ds$ . 取微分得到 $frac{dPhi(t)}{dt}=sigma^{2}_{F}(t,t) + int^{t}_{0}frac{partial sigma^{2}_{F}(s,t)}{partial t}ds =sigma^{2}_{R}(t) + int^{t}_{0}frac{partial sigma^{2}_{F}(s,t)}{partial t}ds$

我們注意到

$frac{partial sigma^{2}_{F}(s,t)}{partial t}＝2sigma_{F}(s,t)frac{partial sigma_{F}(s,t)}{partial t}=-2eta(t)sigma^{2}_{F}(s,t)$

因此

$frac{dPhi(t)}{dt}=sigma^{2}_{R}(t) －2eta(t) int^{t}_{0}sigma^{2}_{F}(s,t)ds =sigma^{2}_{R}(t) －2eta(t)Phi(t)$

$Gamma(t)$

讓我們回到以上的(1)式。如果我們令 $T=t$ , 則得到 $r(t)=f(t,t)=f(0,t)+Gamma(t)$

由此得到 $Gamma(t) = r(t) - f(0,t)$

根據前文的公式， $Gamma(t)=int^{t}_{0}sigma_{F}(s,t)sigma_{P}(s,t)ds + int^{t}_{0}sigma_{F} (s,t) d W_{s}$

因此

$dGamma(t)=sigma_{F}(t,t)sigma_{P}(t,t)dt + int^{t}_{0} left[ frac{partial left(sigma_{F} (s,t) sigma_{P}(s,t) ight)} {partial t} ds ight]dt + sigma_{F}(t,t) d W_t + int^{T}_{0} left[ frac{partial sigma_{F}(s,t}{partial t} dW(s) ight] dt$

$frac{partial left(sigma_{F} (s,t) sigma_{P}(s,t) ight)} {partial t} =sigma^{2}_{F}(s,t) + sigma_{P}(s,t)frac{partial sigma_{F}(s,t)}{partial t}\ = sigma^{2}_{F}(s,t) - eta(t)sigma_{F}(s,t)sigma_{P}(s,t)$

因此

$d Gamma(t) = left( int^{t}_{0} sigma^{2}_{F}(s,t) ds ight)dt - eta(t) left[ int^{t}_{0} sigma_{F}(s,t)sigma_{P}(s,t) ds + int^{t}_{0} sigma_{F}(s,t) dW(s) ight]dt +sigma_{R}(t) dW(t)\ = left[ Phi(t) - eta(t)Gamma(t) ight] dt + sigma_{R}(t) d W(t)$

(全文完）