HJM利率模型的Markov化－S-R 模型(1)

03-19

聲明：本文描述了本人許多年前接觸過的一個利率模型框架。該模型在工業界的應用及其廣泛，而且似乎在銀行里的知名度遠大於其在學術圈的影響。鑒於本人目前工作中已不再經常與利率模型打交道，本文算是一篇Q系礦工的懷舊文。

我們知道， HJM利率模型框架（注意「框架」二字並非冗餘－ HJM本身並不是一個模型，在其框架之下有眾多形式的模型）相比於其他的利率模型，比如market rate model(LMM/SMM)以及equilibrium IR model(最有名氣的代表是 Vasicek和CIR), HJM 框架下的模型滿足無套利條件（no arbitrage condition).

讓我們簡要回顧一下 HJM模型的基本形式。HJM建模的對象是instantaneous forward rate $f(t,T)$ , 定義為零息折扣因子 $P(t,T)$ 對於到期期限 $T$ 的偏微分: $f(t,T)=-frac{d}{dT}lnleft[P(t,T) ight]$ . 我們可以假設 $f(t,T)$ 滿足如下的隨機偏微分方程：

$df(t,T) = mu_{F}(t,T)dt + sigma_F(t,T)dW_t$

這一形式非常一般，除了假設其沒有跳躍項而僅有擴散(diffusion)項和確定的飄逸(drift)項。為了滿足無套利條件，我們必須保證作為可交易資產的零息債券 $P(t,T)$ 滿足以下條件，即趨勢項中的增長率為無風險短期利率 $r(t)=f(t,t)$ :

$frac{dP(t,T)}{P(t,T)}=r(t)dt - sigma_{P}(t,T)dW_{t}$

這裡 $sigma_{P}(t,T)$ 的形式待定。至於前面為什麼是負號後面自會看到。

根據伊藤引理，我們得到 $d lnP(t,T)=(r(t)-frac{1}{2}sigma_{P}^{2})dt - sigma_{P}(t,T)dW_{t}$

利用之前的公式 $f(t,T)=-frac{d}{dT}lnleft[P(t,T) ight]$ ，得到

$df(t,T) = -frac{d}{dT}left[r-frac{1}{2}sigma_{P}^{2}(t,T) ight]dt+frac{d}{dT}(sigma_{P}(t,T))dW_t\ =sigma_{P}(t,T)frac{d sigma_{P}(t,T)}{dT}dt + frac{d}{dT}sigma_{P}(t,T)dW_t$

我們令 $f(t,T)$ 的擴散項 $frac{d}{dT}sigma_{P}(t,T)＝sigma_{F}(t,T)$ ，則 $sigma_P(t,T) = int_{t}^{T} sigma_F (t,u) du$

$f(t,T)$ 的漂移項 $mu_F(t,T) =sigma_P(t,T)frac{d}{dT} sigma_P(t,T)=sigma_F(t,T) int_{t}^{T} sigma_F (t,u) du$

因此得到最終滿足 HJM無套利條件的 SDE:

$df(t,T) =sigma_F(t,T) int_{t}^{T} sigma_F (t,u)dt + sigma_{F}(t,T)dW_t$

我們可以看到 HJM條件的核心在於其擴散項與漂移項的關係。特別的，在給定 $sigma_F(t,T)$ 的條件下，擴散項完全由 $sigma_{F}(t,T)$ 確定。在 HJM框架之下，不同的模型之間僅在於 $sigma_F(t,T)$ 的形式不同。舉兩個例子：

Ho-Lee 模型： $sigma_F(t,T)＝sigma$ 為常數。
Hull-White 模型： $sigma_F(t,T)=sigma e^{-r(T-t)}$ (注意這並非 Hull-White模型的一般形式。）

我們可以看到，在 HJM模型的一般形式中，由於擴散項存在積分，因此如果不對模型的形式做進一步限制， $f(t,T)$ 是無法用有限個只含 $T$ 的狀態變數來表達的，也就是不滿足（有限維狀態變數）Markovian條件。 Sankarasubramanian和Ritchken （以下簡稱 S-R模型）推導出了使其滿足Markovian條件的模型形式。

首先，S-R模型對 $sigma_{F}(t,T)$ 的形式進行了進一步限制，使其滿足「可分性」，即

$sigma_{F}(t,T)＝sigma_R(t) k(t,T)$ , 其中 $k(t,T)=expleft( -int_{t}^{T} eta(s)ds ight)$

這裡 $sigma_R(t)$ 可以為隨機過程。

我們注意到 $k(t,T)$ 滿足條件： $k(s,t)k(t,T) = k(s,T)$ ，且 $k(s,s)=1$

因此可以得到 $sigma_{F}(s,T)＝sigma_R(s) k(s,T)＝sigma_F(s,t)k(t,T)$

$sigma_P(s,T)=int_{s}^{T}sigma_F(s,u)du=int_{s}^{t}sigma_F(s,u)du+int_{t}^{T}sigma_F(s,u)du\ =sigma_{P}(s,t)+sigma_F(s,t)int^{T}_{t}k(t,u)du =sigma_{P}(s,t)+sigma_F(s,t)gamma(t,T)$

(令 $gamma(t,T) equiv int^{T}_{t} k(t,u)du$ )

將 $df(t,T) = sigma_F(t,T)sigma_P(t,T) dt + sigma_F(t,T) dW_t$ 進行積分得

$f(t,T) = f(0,T) + int^{t}_{0} sigma_F(s,T)sigma_P(s,T) + int^{t}_{0}sigma_F(s,T) d W_{s}\ =f(0,T) + int^{t}_{0} sigma_F(s,t)k(t,T)left[sigma_P(s,t) + sigma_F(s,t) gamma(t,T) ight]ds \ + int^{t}_{0} sigma_F(s,t)k(t,T) dW_s\ =f(0,T) + k(t,T)left[int^{t}_{0} sigma_F(s,t)sigma_P(s,t)ds + int^{t}_{0} sigma_F(s,t) dW_s ight]\ + k(t,T)gamma(t,T)left[int^{T}_{0}sigma^{2}_{F}(s,t)ds ight]$

我們注意到上式中括弧內的兩個積分項均為從0到 $T$ 的積分，因此可以看作時間 t的狀態變數：

$Gamma(t) equiv int^{t}_{0} sigma_F(s,t)sigma_P(s,t)ds + int^{t}_{0} sigma_F(s,t) dW_s$

$Phi(t) equiv int^{T}_{0}sigma^{2}_{F}(s,t)ds$

因此 $f(t,T) = f(0,T) + k(t,T)Gamma(t) + k(t,T)gamma(t,T)Phi(t)$

這樣我們便將 $f(t,T)$ 表達為有限狀態變數的Markov過程。需要注意的是，除了以上的兩個狀態變數 $Gamma(t),Phi(t)$ 以外，我們還需要第三個狀態變數, 也就是我們熟悉的money market account：

$M(t)=expleft[int^{t}_{0} r(s)ds ight]$

在下文中我們將繼續推導 $P(t,T)$ 在S-R模型下的形式以及狀態變數的動力學方程。