Libor Market Model簡介

03-18

前言：

最近黑貓屁事纏身，加上工作繁忙，所以幾乎在知乎上以罵人為主，很少有做出有效輸出。正好最近完結一個due，秉著對以前不輸出內容的慚愧（然而對罵人不表示慚愧）寫出這個。

選這個話題的原因1是因為興趣使然，2是前陣子 @Steven Li 李博士剛對一個HJM框架下模型的介紹，3是 @一隻藍瘦的小香菇這個揚言我Q系要被時代淘汰的小子前些天問了貓一個關於LMM的問題，以此為契機介紹一下LMM。可能需要的一些基礎可以見：HJM 模型框架（又稱元模型）和一般的利率過程有什麼本質區別？（不一定要看貓的回答，別人講的也都很好

正文:

what & why

LMM是一套遠期利率建模的方法，專門用在一系列利率互換，百慕大產品，caps和floors的建模上。 遠期利率（也就是這裡的LIBOR）， 不同於那個快要被取消的Libor本身的意義, 這裡的LIBOR是一種遠期收益率的特指：

$1+ au L(t,T,T+ au) =frac{P(t,T)}{P(t,T+ au)}$

這裡我們把一些列到期時間不同的零息債券之間相隔的到期差 $au$ 叫做tenor. Tenor可以固定，也可以不固定，然而無論他固定不固定，不同到期之間的遠期收益率都可以形成一個結構：

$L(t,T_n,T_{n+1}),~L(t,T_{n+1},T_{n+2})...L(t,T_{n+j},T_{n+j+1})$

我們管這樣的遠期收益的期限結構叫做tenor structure。 LMM就是一種對tenor structure建模的一系列模型。

很多人有一個疑問，LIBOR市場已經流通化了，為什麼不對已流通LIBOR直接約化建模呢，而非要搞類似HJM的框架呢？這裡有兩個原因。

1.由上面的定義可知，LIBOR本身就已經是一個零息債券的結構化衍生品了。因此對他的他的建模即使要約化，也必須受零息債券（貼現率）的約束，否則當建模者需要同時處理LIBOR和零息債券的時候就會出現不一致（比如套利）.

2.回到HJM框架里，我們用累計波動率來建立無套利的短期利率漂移項：

$egin{align} df(t,T) =&sigma(t,T)sigma^*(t,T)dt +sigma(t,T)dW^Q_t \sigma^*(t,T)=& int_t^Tsigma(t,v)dv = sigma int_t^Tf(t,v)dv end{align}$

上市最後一個定時是為了在短期利率在對數正態假設下（或者說滿足齊次條件）而做的一種變形。這種變形本身會導致一個問題：

$f(t) =sigma^2f^2(t)$

對右式在給定初始條件下積分得：

$f(t) =frac{f(0)}{1-sigma^2f(0)t}$

分母有變為0的可能。這裡且不論假設的合理性，Shreve表示在更複雜的假設下，上式的情況會更加糟糕。因此由於模型本身的缺陷，需要我們需要一套專門對遠期率連續f(t,T)特殊建模

一致性和所在測度

剛才說了，LIBOR可以約化建模，但必須保證和其他利率模型的一致性，所以接下來我們討論一下如何保持一致。

為了避免空泛地討論利率建模，這裡需要引入兩個常見的遠期利率的vanilla產品互換和cap。由於我們已經定義了LIBOR率，所以接下來兩個產品我們都會用LIBOR表述。

定義遠期單利：

$L(t,T) =L(t,T,T+ au)$ 即只有一期的LIBOR

那麼單期互換浮動方的現值（也叫 Backset LIBOR）為：

$S_t=egin{cases}B(t,T+ au)L(t,T) & 0 leq t leq T\B(t,T+ au)L(T,T) & T leq t leq T+ auend{cases}$

這個對應了香草期貨，那麼期權對應的呢，就是cap（真的不翻譯了，翻譯叫Black上限單元，不如不翻），其payoff為：

$(L(T,T)-K)^+$

（順便，這個叫cap不叫互換期權，互換期權一點都不香草，是一個超級複雜結構化奇異產品，但是在市場的地位卻更加重要，甚至是利率曲線的主要構成成分。

由單期互換的定義，我們可以清楚地看到，單期互換和cap的貼現率（計價單位）都應為 $B(t,T+ au)$ .也就是說，這是進入這個市場的自融資成本或者資金成本。所以他們所在的測度為 $Q^{T+ au}$ , 和一般債券的 $Q^T$ 保持了一致性（貼現期正好多了一期tenor）

LIBOR過程構造

由於每兩期LIBOR都隔一個tenor，因此我們可以利用不同到期所對應的計價單位來構造tenor structure.

首先由已知計價單位的變換我們可以直接得到得到RN導數：

$zeta(t) = E^{T+ au}_t [frac{dQ^T}{dQ^{T+ au}}] = (1+ au L(t,T))frac{P(0,T+ au)}{P(0,T)}$

在 $B(t,T+ au)$ 作為計價單位時， $L(t,T)$ 中性（ $Q^{T+ au}$ 鞅）因此我們有：

$dL(t,T)= sigma_TdW^{T+ au}_t$

那麼相應的RN導數過程為：

$dzeta(t)/zeta(t) = frac{ ausigma_TdW^{T+ au}}{1+ au L(t,T)}dt$

根據Girsanov Theorem 我們可以得到每隔一個tenor，不同測度布朗運動的遞推式：

$dW^T_t = dW^{T+ au}_t - frac{ ausigma_T}{1+ au L(t,T)}dt$

由此可見，不同tenor下的中性可以直接通過累加 $frac{ ausigma_T}{1+ au L(t,T)}$ 部分得到，因此我們獲得了一種簡單構造tenor structure的。這個結論可以在ShreveII第十章找到。

與HJM的聯繫：

LMM的框架並沒有經過HJM構造，但其實是跟HJM兼容的。我們可以得到上述 $frac{ ausigma_T}{1+ au L(t,T)}$ 就是tenor間的累積波動率差 $sigma^*(t,T+ au) - sigma^*(t,T)$ 。有興趣的同學可以根據ShreveII 10.4.5或者AP綠 14.2.3的提示下自證

如果有續集，黑貓將會繼續介紹LMM的波動率因子化和校準手段

正文結束

吐槽和罵人：

為了事先防止一些「你這些都是理論」，「都是一些無意義的複雜模型」，所以貓在文章結尾先把該罵的罵完，然後對罵者可以自助引用這一部分。

利率市場的一個很重要的特點就是衍生品比正品（國債）還要流通。稍微了解過一點美國貨幣一級市場的朋友都應該知道發行一個債券不但報價麻煩，還要集合競價。（聽說國內更麻煩）儘管有將利息和本金分開交易成零息（strip bond）這種手段，但債權一般還是一種長期持有流通差的產品。而銀行間額度利率風險和同業拆借需求卻不應因為流通差而停止，而且考慮到成本（互換是極其昂貴的），像互換期權（swaption）這種超級複雜結構化產品卻成了利率曲線構成的主要部分也就不奇怪了。

上文的數學部分一點都不重要，也都是黑貓我抄的。貓數學奇差，讓貓推估計一天就過去了。這些東西更重要的部分是為什麼要有LMM，為什麼要有LIBOR市場，我這樣建模是為了什麼？這也不是什麼「都是一些無意義的複雜模型」，因為LIBOR本身的定義如此，導致了它的特性就是如此複雜。

所以如果評論中有管這些叫理論的，黑貓將直接開罵不作解釋。

最後希望這些被時代淘汰的虛假理論能幫助一些從業者和學習者。