拉格朗日乘數法

03-18

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預備知識　導數與函數極值，梯度

　　若要求函數 $f(x_1,dots, x_N)$ 在 $m$ 個約束條件 $g_i(x_1, dots, x_N) (i = 1,dots, M)$ 下的極值，可用拉格朗日乘數法，令拉格朗日函數為

$Lambda(x_1,dots, x_N) = f + sum_{i=1}^M lambda_i g_i$ 　　(1)

其中 $lambda_i$ 為未知任意常數．同時滿足約束條件和

$frac{partialLambda}{partial x_i} = 0 quad (i = 1,dots, N)$ 　　(2)

的點，就是函數 $f(x_1, dots, x_N)$ 的極值點或穩定點．

幾何理解

　　下面舉一個二元函數的例子以說明拉格朗日乘數法的幾何意義．

圖1：例 1

例 1

　　求函數 $f(x,y) = -a(x^2 + y^2)$ 在軌跡 $x+y = c$ 約束下的最值（ $a,c$ 均為常數）．

　　從幾何上來理解，函數 $f(x,y)$ 是一個倒置的拋物面，其等高線的俯視圖如圖 1 藍色的箭頭代表函數值增加最大的方向，即梯度的方向．考察點沿著同一條等高線的位置變化時，函數值不變．曲面上任意一點的梯度為

$abla F = frac{partial F}{partial x} hat {mathbf x} + frac{partial F}{partial y} hat {mathbf y} = -2axhat {mathbf x} -2ayhat {mathbf y} = -2amathbf r$ 　　(3)

其中 $mathbf r$ 為位矢．這說明，梯度的方向總是延徑向向內，與距離成正比．

　　約束條件如圖 1 中紅線所示，我們要求的就是紅線上面函數 $f$ 的極值．在該題的情況下，所求的極值顯然在紅線離原點最近的地方出現．

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