雅可比行列式

03-18

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若有坐標系變換

$left{egin{aligned} x = x(u,v,w)\ y = y(u,v,w)\ z = z(u,v,w) end{aligned} ight.$ 　　(1)

根據全微分關係

$egin{pmatrix}mathrm d{x}\ mathrm d{y}\ mathrm d{z}end{pmatrix} = egin{pmatrix} partial{x}/partial{u} & partial{x}/partial{v} & partial{x}/partial {w} \ partial{y}/partial{u} & partial{y} partial{v} & partial{y} partial{w} \ partial{z} partial{u} & partial{z} partial{v} & partial{z} partial{w} end{pmatrix}$ 　　(2)

其中 $mathbf J$ 叫做雅可比矩陣．

　　考慮 $uvw$ 坐標系中的一個體積元 $(u,v,w) o (u + mathrm d u, v + mathrm d v, w + mathrm dw)$ ，一般情況下（不需要是正交曲線坐標系），體積元為平行六面體，起點為 $(u,v,w)$ 的三條棱對應的矢量分別為

$egin{pmatrix}mathrm d{x_1}\mathrm d{y_1}\mathrm d{z_1}end{pmatrix} = mathbf J egin{pmatrix}mathrm d{u}\0\0end{pmatrix} = egin{pmatrix} J_{11}\J_{21}\J_{31}end{pmatrix} mathrm d{u}$ 　　(3)

$egin{pmatrix}mathrm d{x_2}\mathrm d{y_2}\mathrm d{z_2}end{pmatrix} = mathbf J egin{pmatrix} 0\mathrm d{v}\0end{pmatrix} = egin{pmatrix} J_{12}\J_{22}\J_{32}end{pmatrix} mathrm d{u}$ 　　(4)

$egin{pmatrix}mathrm d{x_3}\mathrm d{y_3}\mathrm d{z_3}end{pmatrix} = mathbf J egin{pmatrix} 0\ 0\mathrm d{w}end{pmatrix} = egin{pmatrix} J_{13}\J_{23}\J_{33}end{pmatrix} mathrm d{w}$ 　　(5)

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