二維隨機走動

03-18

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預備知識　中心極限定理

結論

　　若平面上某點從坐標運點出發，每一步沿隨機方向走動一個隨機步長，步長的分布函數為 $f(r)$ ， $N (N gg 1)$ 步之後，該點的位置分布可以用圓高斯分布表示

$P(X,Y) = frac{a}{pi} mathrm e^{-a(X^2 + Y^2)} quad ext{或} quad P(R) = 2aR mathrm e^{-aR^2}$ 　　(1)

其中

$a = frac{1}{N langle r^2 angle} qquad langle r^2 angle = int_0^{infty} r^2 f(r)mathrm d{r}$ 　　(2)

由分布函數可得，隨機點最終離原點的距離的平均值和方均根為

$langle R angle = frac{sqrt{pi}}{2}sqrt{Nlangle r^2 angle} qquad sqrt{langle R^2 angle } = sqrt{Nlangle r^2 angle}$ 　　(3)

　　我們先來分析隨機點的 $x$ 坐標．假設每一步在 $x$ 方向投影的長度為 $x_i$ ， $N$ 步以後，該點的 $x$ 坐標為 $X$ ，則

$langle x^2 angle = int_0^{infty} int_0^{2pi} (rcos heta)^2 cdot f(r)mathrm d{r} cdot frac{1}{2pi}mathrm d{ heta} = frac12 langle r^2 angle$ 　　(4)

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