簡諧振子(級數)

03-18

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結論

　　簡諧振子的能級為

$E_n = left(frac12 + n ight)hbar omega$ 　　(1)

波函數為

$psi_n (x) = frac{1}{sqrt{2^n n!}} left(frac{alpha^2}{pi } ight)^{1/4} H_n(u) mathrm e^{-u^2/2}$ 　　(2)

其中

$alpha equiv sqrt{frac{momega}{hbar }} qquad u equiv alpha x$ 　　(3)

$H_n(u)$ 叫做 Hermite 多項式

$H_n(u) equiv (- 1)^n mathrm e^{u^2} frac{mathrm d^2}{mathrm d u^2} left(mathrm e^{-u^2} ight)$ 　　(4)

前 6 階 Hermite 多項式分別為

$egin{array}{l} H_0(u) = 1\ H_1(u) = 2u\ H_2(u) = 4u^2 - 2 end{array} qquad egin{array}{l} H_3(u) = 8u^3 - 12u\ H_4(u) = 16u^4 - 48u^2 + 12\ H_5(u) = 32u^5 - 160u^3 + 120u end{array}$ 　　(5)

前4個波函數分別為

（剩下部分見頂部的「閱讀原文」）