祝大家^^元宵節快樂（附：平面問題的極坐標解答）

03-18

引言：

極坐標的方程推導難度遠大於直角坐標，所以還是希望大家背過方程，我推了多次，寫一寫注意事項，可以提供一些對方程的理解。另外寫了一些口訣，覺得好記就記。

一、平衡方程：

$frac{partial sigma_{ ho} }{partial ho} +frac{1}{ ho} frac{partial au_{ heta ho} }{partial heta } + frac{ sigma_{ ho}- sigma_{ heta} }{ ho} + f_{ ho}=0$

$frac{partial au_{ ho heta} }{partial ho} +frac{1}{ ho} frac{partial sigma_{ heta} }{partial heta } + frac{ 2 au_{ ho heta} }{ ho} + f_{ heta}=0$

這個方程推導的時候，有以下幾個注意事項：

（1）cos值取1，但sin值不取0，而應該做等價無窮小代換；

（2）極徑面上，極徑應力和轉角應力永遠相互垂直，故，列兩個平衡方程時，不考慮極徑面上的某一對應力分量，另一對保留，但轉角面上的應力都保留；

（3）轉角以順時針為正；

（4）根據量綱角度分析，平衡方程整體的量綱是體力的量綱，故凡是以應力為量綱的量，必須除以一個分母（極徑）；

（5）這兩個方程中，每一個多包含一項，這是極坐標的特點，有一些項沒法消去；

（6）記憶的時候，記住方程量綱的特點，並且所有項均為正。

二、幾何方程：

$varepsilon_{ ho}=frac{partial u_{ ho} }{partial ho}$ （唯一一個沒怎麼變的方程）

$varepsilon_{ heta}=frac{ u_{ ho} }{ ho}+frac{1}{ ho}frac{partial u_{ heta} }{partial heta}$ （根據量綱原理進行記憶）

（記憶口訣：正著來，有兩項）

$gamma_{ ho heta} = -frac{ u_{ heta} }{ ho}+frac{partial u_{ heta} }{partial ho} +frac{1}{ ho}frac{partial u_{ ho} }{partial heta}$ （根據量綱原理進行記憶）

（口訣：反著來，有三項，不求偏導添負號）

這個方程推導的時候，有以下幾個注意事項：

（1）分別計算兩個方向的位移對應變的影響；

（2）存在負號意味著有角度增大的部分，不要以為所有都是正號。

三、物理方程：

由於極坐標系與直角坐標系都是正交系，故物理方程沒有變化，只是相應的字母發生改變。

四、應力分量的坐標變換：

$sigma_{ ho}=frac{1}{2}(sigma_{x}+sigma_{y})+frac{1}{2}(sigma_{x}-sigma_{y})cos2 heta+ au_{xy}sin2 heta$

$sigma_{ heta}=frac{1}{2}(sigma_{x}+sigma_{y})-frac{1}{2}(sigma_{x}-sigma_{y})cos2 heta- au_{xy}sin2 heta$

$au_{ ho heta}=-frac{1}{2}(sigma_{x}-sigma_{y})sin2 heta+ au_{xy}cos2 heta$

特殊說明： $sigma_{ ho}+sigma_{ heta}=sigma_{x}+sigma_{y}$

（1）由於材料力學和彈性力學對切應力的規定不同，所以得出來的結果也有些不同，但是大體形式是沒有區別的；

（2）其實還有一組逆變換，但是我覺得記住這個就基本夠用了；

（3）其實之前已經推導過第一個與第三個式子，第二個式子只需要做一定變數替換即可。

五、坐標變換與應力函數：

（1）先給出傳統的變數代換操作：

$ho=x^{2}+y^{2}； heta=arctanfrac{y}{x}$

$x= ho cos heta；y= ho sin heta$

$frac{partial }{partial x }=frac{partial }{partial ho}frac{partial ho }{partial x }+frac{partial }{partial heta }frac{partial heta }{partial x }$ ； $frac{partial }{partial y }=frac{partial }{partial ho}frac{partial ho }{partial y }+frac{partial }{partial heta }frac{partial heta }{partial y }$

$frac{partial ^{2} }{partial ^{2} x }=frac{partial }{partial x}（frac{partial }{partial ho}frac{partial ho }{partial x }+frac{partial }{partial heta }frac{partial heta }{partial x }）$ ； $frac{partial ^{2} }{partial ^{2} y }=frac{partial }{partial y}（frac{partial }{partial ho}frac{partial ho }{partial y }+frac{partial }{partial heta }frac{partial heta }{partial y }）$