數學中以e為底的指數函數f(x)=exp(x)求導後為什麼還是它本身?

這真的不是一個顯然的題目。

起首，你必要知道的定義。的定義有好幾個。很不幸的是，用最常見的定義：

不容易推出導數的性子。以是要藉助另一個等價的定義：

知道了這個定義後，接著要對恣意實數，定義函數。

起首，對付任何的正實數，級數

的部分和是柯西列，以是級數存在（收斂），以是對任何的實數，都可以定義：

由於此級數絕對收斂。

接下來，你和我可以證明對任何實數和，有：

這是由於在相干級數絕對收斂的時間，有等式：

從以上等式出發，證明函數的連續性，只需證明

由於函數對任何的函數值都是相應的級數絕對收斂的級數和，以是當你和我思量求函數的極限時，可以互換求極限與求級數和的標記。

從和函數的連續性，通過經典的柯西函數證明，可以推出：

。

詳細如下：

1.對全部的天然數,.

2.對全部的有理數，，以是

3.對全部的實數，通過有理數逼近，以及函數的連續性，可以證明.

同樣地，求它的導數的時間，也可以互換求極限與求級數和的標記：

這就證明白函數的導數便是其自身。