歐拉公式的平面幾何是怎樣的？

03-17

歐拉公式的平面幾何是怎樣的設△ABC的外心為O，內心為I，外接圓半徑為R，內切圓半徑為r，又記

歐拉公式(3張)

外心、內心的距離OI為d，則有

（1）式稱為歐拉公式。[6]

為了證明（1）式，我們現將它改成

歐拉公式的平面幾何是怎樣的（2）式左邊是點I對於⊙O的冪：過圓內任一點P的弦被P分成兩個部分，這兩個部分的乘積是一個定值，稱為P關於⊙O的冪。事實上，如圖3.21，如果將OI延長交圓於E、F，那麼

因此，設AI交⊙O於M，則

因此，只需證明

或寫成比例式

為了證明（5）式，應當尋找兩個相似的三角形。一個以長IA、r為邊；另一個以長2R、MI為邊。前一個不難找，圖3.21中的△IDA就是，D是內切圓與AC的切點。後一個也必須是直角三角形，所以一邊是直徑ML，另一個頂點也應當在圓上。△MBL就滿足要求。