子集的運算

03-17

子集的運算雖然沒有出現在課本之中，但由原集合導出子集的運算是十分自然的。為了讓這種運算有某些看起來應當理所應當的性質，我們引入了子群。這也是子群的一種引入方式。

對於群而言，任何一個元素都可以分解成其它兩個元素之積，你把這個元素g乘上某個元素a的逆一定還在群里，乘出來的東西也一定是群里的某個元素b，於是g=ab。

那麼我們限定ab 都在某個子集里會怎樣？這樣的ab該如何存在？

對上式做一下變形：，只要。而由於S中的元素數量，它們有交點幾乎是顯然的。

這一道題顯然是上一題的推廣，證明也可以對照著做，證明兩個集合一定有交點。

這一道題是個非常重要的二級結論，如果取A或者B是正規子群的話，交換性是顯然的，於是AB就一定是G的子群了。

它的證明看起來技巧性蠻強的，但其實也是建立在對子群的深刻理解的基礎上。還記得我們如何由子集的運算導出子群的運算嗎?

，滿足這兩個條件的子集就是子群。現在回過頭來看看前面的證明，不就是充分利用了這兩個條件嗎？

這一道題其實蠻簡單的，但是方法也很經典。其中一個很重要的技巧就是對b的兩重意義的計算，一方面它在B里，另一方面它可以表示成，一定在C中，因此在中。

PS；發現周一到周五的零散時間用來寫長篇實在效率不高，就湊活著寫點短文吧。