多元函數極限的一些討論

前言

多元函數的極限，是一個非常難以理解的東西。相信大家在學習多元函數極限的時候，都對「以任意方式趨近」有了很深的印象。一元函數的極限，很簡單，只會以直線趨近，但維度一升高，極限就會變的異常複雜。我這篇文章里主要想講的是，怎樣將多元函數極限與一元函數極限聯繫起來。當然，也有一些很實用的技巧，比如說最後一部分中，利用極坐標來判斷二重極限不存在。

這篇文章的實用性並沒有前幾篇那麼強，但我覺得，如果想大致了解一下多元函數的極限與一元函數極限的關係，這篇文章也許能起到一定的作用。

正文

我們以多元函數的極限的定義來開始我們這次的文章：

不過在此之前，我們需要先定義 維空間中的距離：

對於點 和 ,定義

接下來，我們就可以定義極限了：

對於 元 維函數 和一個點 ,如果

則稱 為 在 時的極限，記作

以上即為多元函數極限的定義。

對於定義的挖掘，我並不想有太多的討論，主要還是在聚點的問題上，詳細請看我的文章更精細地處理極限。

換元法

和一元函數類似，多元函數的換元法的本質仍然是複合函數的極限法則：

對於 元 維函數 和 元 維函數 ，若 且 ,而 ,那麼我們有

對於多元函數的換元法，我們需要注意到的是，這不僅可以簡化我們的計算，還可以將多元函數的極限轉化為一元函數的極限。此時只需要令 即可。

比如說：

求

記二元一維函數 ,則 .

我們使用複合函數的運演算法則：

多重極限與累次極限

（這一段如果不想探究原理的人可以略過）

首先我們定義一致收斂：

已知一個帶參數 的函數 和一個數 ,其中 .若

則稱函數列 在 時一致收斂到 .

這裡需要注意一點，由於 是在 之後，故 應是一個與 的選取無關的數。這與我們一般的普通極限的定義不同。

常見的不一致收斂的函數列是 在 時。導致這樣情況出現的原因在 的附近。

下面給出交換極限順序的定理：

已知一個帶參數 的函數 和 ,其中 .若函數列 在 時一致收斂到 ，且 存在,那麼

接下來介紹累次極限與多重極限的關係：

若 都存在，則它們相等。

用極坐標簡化極限運算

相信大家都知道， 元函數極限存在是一個非常苛刻的事情。它要求自變數以任何軌道趨近於定點的時候，極限都要存在。在二維情況下，是這個定理：

存在，等價於

滿足 ，且在 周圍可以寫成顯函數 或 ,須有 存在且相等。

對於高維，是類似的。

相信 的例子已經讓大家感受到了以不同直線趨於 時極限不想等的絕望，有些同學也看過 這樣喪心病狂的例子，只有以 的軌道趨近於 時極限為 ，其他情況的極限都是 .僅僅從一個軌道趨近而極限不同，極限就不存在，可見多元函數的極限存在是一個非常苛刻的事情。

對於二元函數 ,我們要求極限 確實不太容易，但是，如果

我們令 , ,且 存在且相等，那麼我們有：

且若 的結果與 有關，或 的結果不存在，則 不存在。

這麼長一段話，最後還是回到另一個二重極限存在上來，看似毫無用處。

這個定理，我們用的時候，是這樣用的：

先把的結果求出來。如果和 有關，那麼二重極限一定不存在。

如果和 無關，並且極限的表達式最終化簡出來只是涉及到乘法，比如說 ,那麼二重極限存在，且與此一重極限的極限值相等。

如果極限的表達式化簡出來是分子分母都有 的，別想了，趕快用土方法 吧。

所以說，這個定理最重要的幫助，便是判斷極限不存在。我通過將 看作常數，求出 ,如果結果和 有關，我可以輕易地構造出反例： 和 ,當 以這兩種軌道趨近於 時，結果必然不同。

但是，確實有一些人以為，所有的二重極限都可以化成極坐標來做。這實際上是錯誤的。事實上， 這點並沒有錯。但是，後者要求對所有的 ，極限的結果都要存在且相等。並且，後者還是一個二重極限，而非累次極限。比如說，我們有反例：

已知 ,求 是否存在。

取 和 ,可以很容易知道極限是不存在的。但是，如果我們轉化成極坐標之後，求

出現這種情況的理由其實很好想，因為轉化成極坐標之後，極限的趨近方式就變成了以直線趨近於原點。這顯然不是充分的。

但是，我們有定理：

如果 的極限存在，則可以用極坐標方式求極限。

當然，這個也有更高維的推廣：

超球坐標系：向量 可以表示成 的形式，其中

那麼同樣地，我們要求極限 ,也可以通過算 來大致判斷。