磁場中閉合電流的合力

03-17

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預備知識　安培力，斯托克斯定理，靜磁場的高斯定理

　　假設空間中有任意磁場 $mathbf B(mathbf r)$ ，閉合電流迴路 ${L}$ 中有電流 $I$ ．則其受到的安培力可以表示為線積分 $mathbf F = oint I mathrm d{mathbf l} imes mathbf B$ ．積分方向為電流方向．若磁場是勻強磁場，則立即得到 $mathbf F = I(oint mathrm d{mathbf l}) imes mathbf B = mathbf 0$ 若磁場是任意的，那麼

$egin{aligned} mathbf F &= oint_L I mathrm d{mathbf l} imes mathbf B = hat{mathbf x} Ioint_L mathrm d{mathbf l} imes mathbf B cdothat{mathbf x} + hat{mathbf y} Ioint_L mathrm d{mathbf l} imes mathbf B cdothat{mathbf y} + hat{mathbf z} Ioint_L mathrm d{mathbf l} imes mathbf B cdothat{mathbf z}\ &= hat{mathbf x} Ioint_L (mathbf B imes hat{mathbf x}) cdotmathrm d{mathbf l} + hat{mathbf y} Ioint_L (mathbf B imes hat{mathbf y}) cdotmathrm d{mathbf l} + hat{mathbf z} Ioint_L (mathbf B imes hat{mathbf z}) cdotmathrm d{mathbf l}\ &= hat{mathbf x} I int_Sigma oldsymbol abla imes(mathbf B imes hat{mathbf x}) cdotmathrm d{mathbf s} + hat{mathbf y} Iint_Sigma oldsymbol abla imes (mathbf B imes hat{mathbf y}) cdotmathrm d{mathbf s} + hat{mathbf z} Iint_Sigma oldsymbol abla imes(mathbf B imes hat{mathbf z}) cdotmathrm d{mathbf s} end{aligned}$ 　　(1)

其中用到了斯托克斯定理， $Sigma$ 是以閉合曲線 $L$ 為邊界的曲面．上式中

$oldsymbol abla imes(mathbf B oldsymbol abla imes hat{mathbf x}) = mathbf B (div hat{mathbf x}) + (hat{mathbf x}cdotmathbf abla )mathbf B - hat{mathbf x} (div mathbf B) - (mathbf B cdotmathbf abla)hat{mathbf x} = (hat{mathbf x}cdotmathbf abla)mathbf B = frac{partial mathbf B}{partial x}$ 　　(2)

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