球坐標系中的梯度散度旋度及拉普拉斯

03-17

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$r$ 是極徑， $heta$ 是極角， $phi$ 是方位角

梯度算符

$abla cdot u = frac{partial u}{partial r}hat{mathbf r} + frac{1}{r} frac{partial u}{partial heta}hat{mathbf heta} + frac{1}{rsin heta }frac{partial u}{partialphi}hat{mathbf phi}$ 　　(1)

散度算符

$oldsymbol ablacdot mathbf v = frac{1}{r^2} frac{partial}{partial r} (r^2 v_r) + frac{1}{rsin heta} frac{partial}{partial heta} (sin heta v_ heta) + frac{1}{rsin heta}frac{partial v_phi}{partialphi}$ 　　(2)

旋度算符

$egin{aligned} oldsymbol abla imes mathbf v = & frac{1}{rsin heta} left[frac{partial}{partial heta} (sin heta v_phi) - frac{partial}{partial phi} ight] hat {mathbf r} + frac1r left[frac{1}{sin heta}frac{partial v_r}{partial phi} - frac{partial}{partial r} (r v_phi) ight] hat{oldsymbol heta}\ &+ frac1r left[frac{partial}{partial r} (r v_ heta) - frac{partial v_r}{partial heta} ight] hat{oldsymbol phi} end{aligned}$

拉普拉斯算符

（剩下部分見頂部的「閱讀原文」）