動能動能定理（單個質點）

03-17

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預備知識　功功率，牛頓第二定律

　　令質點的質量為 $m$ ，速度為 $mathbf{v}$ ，則質點的動能定義為

$egin{equation} E_k = frac12 mmathbf{v}^2 = frac12 mv^2 end{equation}$ 　　(1)

　　質點的動能定理是，一段時間內質點動能的變化等於合外力對質點做的功．從變化率（即時間導數）的角度來看，動能定理也可以表述為質點的動能變化率等於合外力對質點的功率．

推導

　　力對質點做功的功率為

$egin{equation} P = frac{mathrm{d}{W}}{mathrm{d}{t}} = mathbf{ F}cdotfrac{mathrm{d}mathbf{ r}}{mathrm{d}t} = mathbf{F}cdotmathbf{ v} end{equation}$ 　　(2)

再來看動能的變化率

$frac{mathrm{d}}{mathrm{d}t}E_k=frac12mfrac{mathrm{d}}{mathrm{d}t}(mathbf{v}cdotmathbf{v})$ 　　(3)

由矢量點乘的求導式 7， $mathrm d{mathbf vcdot mathbf v}{mathrm d t} = 2mathbf vcdot {mathrm d mathbf v}/{mathrm d t} = 2mathbf vcdotmathbf a$ ，上式變為

$frac{mathrm d}{mathrm d t}E_k = m mathbf a cdot mathbf v = mathbf F cdot mathbf v$ 　　(4)

最後一步使用了牛頓第二定律．注意式 2 與式 4 相等，所以動能變化率等於合外力的功率．

（剩下部分見頂部的「閱讀原文」）

動能 動能定理（單個質點）

推導

動能動能定理（單個質點）