簡諧振子(升降算符)

03-17

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預備知識　升降算符

結論

$a_pm = frac{1}{sqrt{2momegahbar}} (momega x mp mathrm i p) quad a_+ psi_n = sqrt{n + 1} psi_{n+1} quad a_- psi_n = sqrt n psi_{n-1}$ 　　(1)

$E_n = left(n+frac12 ight)omega hbar qquad hat n = a_+ a_ - qquad H = omegahbar left(hat n + frac12 ight)$ 　　(2)

$psi_0 (x) = frac{1}{pi^{1/4} eta^{1/2}} mathrm e^{-(x/eta)^2/2} qquad eta = sqrt{frac{hbar}{momega}}$ 　　(3)

　　在經典的簡諧振子模型中，若質點沿 x 軸方向振動，且在 x=0 處平衡，則勢能函數 $V(x) = k x^2/2$ ．由於自由振動的頻率為 $omega = sqrt{k/m}$ ，所以勢能可記為

$V(x) = frac12 m omega^2 x^2$ 　　(4)

在量子力學中，這個模型要用薛定諤方程來求解．該模型的哈密頓算符為

$H = frac{p^2}{2m} + V = frac{p^2}{2m} + frac12 momega^2 x^2 = frac{1}{2m} [p^2 + (momega x)^2]$ 　　(5)

定態薛定諤方程（能量的本徵方程）為

$Hpsi = Epsi$ 　　(6)

由於這個方程需要使用冪級數，但作為一種巧妙的方法，先利用升降算符來得到能量的本徵值，再求本徵函數．

（剩下部分見頂部的「閱讀原文」）