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算符對易與共同本徵函數

03-17

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預備知識　厄米矩陣，本徵函數的簡併

命題

　　 以下兩個條件互為充分必要條件

  1. 兩個厄米算符 hat A 和 hat B 互相對易．
  2. 算符 hat A 和 hat B 的本徵方程存在一整套共同的本徵函數 psi_i ．

證明條件 2→1

　　 設算符 hat A 和 hat B 有一組共同的本徵函數 psi_i ， 則它們同時滿足 hat A 和 hat B 的本徵方程

left{egin{aligned} hat A psi_i = a_i psi_i\ hat B psi_i = b_i psi_i end{aligned} ight. 　　(1)

對任何 psi_i ， 都有

hat A (hat B psi_i) = hat A (b_i psi_i) = b_ihat A psi_i = a_i b_i psi_i 　　(2)

hat B (hat A psi_i) = hat B (b_i psi_i) = a_ihat B psi_i = a_i b_i psi_i 　　(3)

（剩下部分見頂部的「閱讀原文」）


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