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氫原子基態的波函數

03-17

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預備知識　波函數簡介

　　 由於波函數的統計詮釋，統計在量子力學中經常碰到，所以這裡舉一個例子讓你熟悉一下統計的一些常見計算．

　　 氫原子是唯一有解析解的物理實例，因為它結構簡單，只有一個核外電子．由於核外電子質量又遠小於原子核的質量，忽略核的運動，且不計萬有引力．

　　 氫原子基態的波函數為

egin{equation} psi(mathbf r) = Amathrm e^{-r/a} end{equation} 　　(1)

其中 a_0 = 4pivarepsilon_0 hbar ^2/(m_e e^2) 是量子理論中一個重要的常數，玻爾半徑．由於這是個球對稱函數，所以氫原子的波函數通常在球坐標中表示，即表示成三個球坐標的函數 psi(mathbf r) = psi(r, heta, phi) ． 其模長平方同樣表示粒子在某點出現的概率密度．由於氫原子基態的波函數是球對稱的，所以只是 r 的函數．

歸一化

　　 概率密度必須歸一化，也就是說，在所有地方找到電子的概率之和為必為 1． 所以可以用歸一化來確定波函數前面的係數 A． 把概率密度對整個空間體積分

egin{equation} 1 = int |psi(mathbf r)|^2 mathrm d{V} = int_0^{+infty} (A^2 mathrm e^{-2r/a})(4pi r^2mathrm d{r}) = A^2 pi a^3 end{equation} 　　(2)

所以 A = 1/sqrt{pi a^3} ，

egin{equation} psi (mathbf r) = frac{1}{sqrt{pi a^3}} mathrm e^{-r/a} end{equation} 　　(3)

位置的平均值

　　 根據連續概率分布中平均值（或數學期望）的定義

（剩下部分見頂部的「閱讀原文」）

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