中點法解常微分方程（組）

03-17

閱讀原文

預備知識　常微分方程（組）的數值解

　　我們先來嘗試用歐拉法解一階微分方程

$y(t) = y$ 　　(1)

令初始條件為 $y(0)=1$ ．令步長為 $h=0.5$ ，步數為 $5$ ，結果如圖 1 所示（代碼見詞條最後）．

圖1：歐拉法數值解（藍）和解析解（紅）

　　我們知道該方程的解析解為 $y = mathrm e^t$ ．對比數值解和解析解，不難分析出誤差產生的原因：我們僅用每段步長區間左端的導數預測整個區間的曲線增量．如果我們能利用每個區間中點的導數計算計算整個區間的增量，這個預測將會比歐拉法更精確．

　　考慮微分方程 $y′(t)=f(y,t)$ 在區間 $[t_n, t_{n+1}]$ 的曲線，若我們已知區間左端的函數值為 $y_n$ ，我們可以先用微分近似估計曲線中點的函數值為

$yleft( t_n + frac h2 ight) = y_n + frac h2 f(y_n, t_n)$ 　　(2)

然後再求出這個近似中點的導數為

$yleft( t_n + frac h2 ight) = fleft[ y_n + frac h2 f(t_n, y_n), t_n + frac h2 ight]$ 　　(3)

最後我們利用這個導數估算該區間的曲線增量

（剩下部分見頂部的「閱讀原文」）