反開普勒問題

03-17

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預備知識　雙曲線的三種等效定義，天體運動

　　考慮電荷為 $q$ ，質量為 $m$ 的輕質點從無窮遠處以 $v_i$ 入射到電荷為 $Q$ （同種電荷）的重質點（假設始終靜止）．輕質點的運動軌跡為雙曲線的一支，重質點的位置為離軌道較遠的焦點（證明見下文）．

　　定義碰撞參量為雙曲線的漸近線到焦點的距離，若輕質點一直做勻速直線運動，則碰撞參量就是兩質點的最近距離．由雙曲線的性質，碰撞參量等於雙曲線的參數 $b$ ．

　　現在推導軌道參數 $a,b$ 與能量 $E$ 和角動量 $L$ 的關係．軌道離焦點的最近距離為

$r_0 = a + c$ 　　（1)

對應的速度為 $v_0$ ，由能量守恆得

$frac12 mv_i^2 = frac12 mv_0^2 + frac{kQq}{r_0}$ 　　（2）

由角動量守恆得

$mv_ib = mv_0 r_0$ 　　(3)

雙曲線的三個參數滿足

$a^2 + b^2 = c^2$

聯立式 1 到式 4 解得

$E = frac{kQq}{2a} qquad L = bsqrt{frac{2E}m} = bsqrt{frac{kQq}{ma}}$ 　　(5)

軌道方程推導

（剩下部分見頂部的「閱讀原文」）