繞軸旋轉矩陣

03-17

閱讀原文

預備知識　空間旋轉矩陣，繞軸旋轉的線速度

結論

　　直角坐標系中，某點 $mathbf r = (x, y, z)^T$ 以單位矢量 $hat {mathbf A} = (A_x, A_y, A_z)^T$ 為軸按右手定則轉動 θ 角的得到的點 $mathbf r = (x, y, z)^T$ 可用矩陣乘法計算

$mathbf r = mathbf R_ heta mathbf r$ 　　(1)

其中 $mathbf R_ heta$ 為繞軸旋轉矩陣

$mathbf R_ heta = egin{pmatrix} aA_x^2 + c & aA_xA_y - sA_z & aA_xA_z + sA_y\ aA_yA_x + sA_z & aA_y^2 + c & aA_yA_z - sA_x\ aA_zA_x - sA_y & aA_zA_y + sA_x & aA_z^2 + c end{pmatrix}$ 　　(2)

其中

$c = cos heta qquad s = sin heta qquad a = 1-cos heta$ 　　(3)

推導

　　推導的思路是用 $hat {mathbf A}, mathbf r$ 和 $θ$ 三個已知量經過數乘，點乘和叉乘三種運算，表示出旋轉後的矢量 $mathbf r$ ，再拆成三個分量，即可得到線性變換，進而寫出矩陣. 注意該思路與推導平面旋轉矩陣的思路不一樣.

圖1：繞軸旋轉矩陣的推導

（剩下部分見頂部的「閱讀原文」）