泰勒展開

03-17

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預備知識　高階導數

　　若一個函數在某個區間內可以求任意階的導數（例如冪函數，三角函數，指數函數，對數函數等），那麼這個函數可以用一個多項式近似，且總項數 $N$ 越多，近似得越精確．令多項式為

$f(x) approx c_0 + c_1(x-x_0) + c_2(x-x_0)^2 +dots =sum_{n = 0}{N} c_n(x - x_0)^n$ 　　(1)

其中 $x_0$ 是該區間內的任意一點，多項式每一項的係數由函數在 $x_0$ 處的第 $n$ 階導數求得

$c_n = frac 1{n!} f^{(n)} (x_0)$ 　　(2)

注意其中 $0$ 的階乘為 $0!=1$ ．另外由式 1 得，當 $x = x_0$ 時，函數值等於多項式值．當項數 $N$ 有限時，通常 $|x - x_0|$ 越小多項式就越接近函數．以上這種把函數展開成多項式的方法就叫泰勒展開．我們先來看一個例子

例1　正弦函數

　　我們在 $x_0 = 0$ 處展開 sin x，由式 1 和式 2得

$sin x = x + frac1{3!}x^3 - frac1{5!} x^5 + dots$ 　　(3)

取不同的項數 $N$ 求和，畫圖如圖 1 ．可見隨著項數增加，多項式慢慢趨近正弦函數．

圖1：sinx 在原點處的泰勒展開的前 N 項求和．容易看出，求和的項數越多，多項式（橙）與 sinx（藍）吻合得越好．

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