牛頓—萊布尼茲公式

03-17

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預備知識　不定積分，定積分

　　牛頓—萊布尼茲公式描述了定積分和不定積分的關係．我們已知不定積分是求導的逆運算，而定積分是函數曲線下方的面積，二者乍看起來沒什麼聯繫，但牛頓—萊布尼茲公式卻揭示了了二者之間的重要關係．

　　若 $F(x)$ 是 $f(x)$ 的一個原函數，則

$int_a^b f(x) mathrm d x = F(b) - F(a)$ 　　(1)

推導

圖1：右圖中 f(x) 的原函數為左圖中的 F(x)，當步長趨近0時，右圖中的長方形面積趨近於左圖中小豎線的長度．

　　如圖 1，根據定積分的定義，有（註：這裡假設極限存在）

$int_a^b f(x) mathrm d x = lim_{Delta x_i o 0}sum_i f(x_i) Delta x_i$ 　　(2)

其中 $f(x_i)Delta x_i$ 可看成是右圖中第 $i$ 個小矩形的面積，求和是對從 $a$ 到 $b$ 的所有小矩形求和．現在不妨把 $x_i$ 設為第 $i$ 個小矩形左端的 $x$ 坐標．考慮到求導是不定積分的逆運算，有 $f(x_i) = F(x_i)$ ，所以小矩形的面積變為

$f(x_i)Delta x_i = F(x_i)Delta x_i approx Delta F_i = F(x_{i+1}) - F(x_i)$ 　　(3)

最後一步使用了微分近似．該式可以理解成，右圖中的小矩形面積約等於左圖中的小豎線長度，即原函數 F(x) 在 $x_i$ 到 $x_{i+1}$ 間的增量．當取極限 $Delta x_i o 0$ 時，上式取等號．代回式 1，有

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